Formula Kirchhoff

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 ianuarie 2021; verificările necesită 13 modificări .

Formula Kirchhoff este o expresie analitică pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale parțiale hiperbolice (așa-numita „ecuație de undă”) în întreg spațiul tridimensional. Prin metoda descendenței (adică reducerea dimensionalității), se pot obține soluții ale ecuațiilor bidimensionale ( formula lui Poisson ) și unidimensionale ( formula lui D'Alembert ).

Formularea completă a problemei și răspunsul

Luați în considerare ecuația

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}} -a^{2}\triangle u=f

, unde funcțiile și sunt definite pe , și este operatorul Laplace .

u=u(\mathbf {x} ,t)

f=f(\mathbf {x} ,t)

(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+)

\triunghi

Această ecuație definește propagarea unei unde călătoare într-un mediu omogen dimensional cu o viteză uneori . $n$ $A$ $t>0$

Pentru ca soluția să fie lipsită de ambiguitate, este necesar să se determine condițiile inițiale. Condițiile inițiale determină starea spațiului (sau, spun ei, „perturbarea inițială”) în momentul de timp : $t=0$

u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x))),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t))\right| _{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x)))

Apoi formula generalizată Kirchhoff oferă o soluție la această problemă în cazul tridimensional:

u(\mathbf {x},t)={\frac {\partial }{\partial t))\left[{\frac {1}{4\pi a^{2}t)}\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t)) \iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2))}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y }

unde integralele de suprafata sunt preluate peste sfera . $S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at$

Kirchhoff însuși a considerat doar cazul tridimensional.

O derivare simplă a soluției problemei principale folosește transformata Fourier .

Consecințe fizice

Să existe o perturbație locală ( și/sau ) pe o mulțime compactă la momentul inițial de timp . Dacă ne aflăm la un moment dat , atunci, după cum se vede din formula (zona de integrare), vom simți perturbarea după timp . $t=0$ $M$ $\varphi _{0}\neq 0$ $\varphi _{1}\neq 0$ ${\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}$ $t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _({\bar {y}}\în M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\dreapta|$

În afara intervalului de timp , unde , funcția este egală cu zero. $\left[t_{1};t_{2}\right]$ $t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _({\bar {y}}\în M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\dreapta|$ $u(x_{0},t)$

Astfel, perturbația inițială, localizată în spațiu, determină în fiecare punct al spațiului o acțiune localizată în timp, adică perturbația se propagă sub forma unei unde având fronturi conducătoare și trase, ceea ce exprimă principiul Huygens ). În avion, acest principiu este încălcat. Justificarea pentru aceasta este faptul că purtătorul de perturbație, care este compact la , nu va mai fi compact la , ci va forma un cilindru infinit și, în consecință, perturbația va fi nelimitată în timp (undele cilindrice nu au margine de fugă) . [unu] $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Formula Poisson - Parseval

Rezolvarea ecuației vibrațiilor membranei (spațiu bidimensional)

u_{tt}=a^{2}\triunghi u+f

(funcția corespunde forței externe de antrenare)

f(x,t)

cu conditiile initiale

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

dat de formula:

u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{ 0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d \tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2}) ^{2))))+{\frac {\partial }{\partial t)){\frac {1}{2\pi a))\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2} -(y_{2}-x_{2})^{2))))+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi ( y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}- (y_{2}-x_{2})^{2}}}}

Formula lui D'Alembert

Rezolvarea ecuației de undă unidimensională

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad

(funcția corespunde forței externe de antrenare)

f(x,t)

cu conditiile initiale

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

are forma [2]

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a)}\int \limits _ {x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _ {xa(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau

Când utilizați formula d'Alembert, trebuie luat în considerare faptul că uneori soluția poate să nu fie unică în întreaga zonă luată în considerare . Soluția ecuației de undă este reprezentată ca suma a două funcții: , adică este determinată de două familii de caracteristici: . Exemplul prezentat în figura din dreapta ilustrează ecuația de undă pentru un șir semi-infinit, iar condițiile inițiale din acesta sunt date numai pe linia verde . Se poate observa că atât -caracteristicile, cât și -caracteristicile vin în domeniul , în timp ce există doar -caracteristicile în domeniu. Adică formula d'Alembert nu funcționează în regiune. $\mathbb {R} ^{1}\times [0,T]$ $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$ $x+at=\xi ,\ x-at=\eta$ $x\ge 0$ $\mathrm {I}$ $\xi$ $\eta$ $\mathrm {II}$ $\xi$ $\mathrm {II}$

Aplicarea formulelor

În general, formula Kirchhoff este destul de greoaie și, prin urmare, rezolvarea problemelor de fizică matematică cu ajutorul ei este de obicei dificilă. Cu toate acestea, se poate folosi liniaritatea ecuației de undă cu condiții inițiale și se caută o soluție sub forma sumei a trei funcții: , care îndeplinesc următoarele condiții: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2})}=a^{2}\triunghi u+f({\bar {x)),t)$ $u({\bar {x)),0)=\varphi _{0}({\bar {x)),\u_{t}({\bar {x)),0)=\varphi _{1}({\bar {x)))$ $u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)$

{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2)}}=a^{2}\triunghi A+f({\bar {x)),t),\qquad A({\bar {x)),0)=0,\ A_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2})}=a^{2}\triunghi B,\qquad B({\bar {x)),0)= \varphi _{0}({\bar {x)),\ B_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2)}}=a^{2}\triunghi C,\qquad C({\bar {x)),0)= 0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).

Prin ea însăși, o astfel de operație nu simplifică utilizarea formulei Kirchhoff, dar pentru unele probleme este posibilă selectarea unei soluții sau reducerea unei probleme multidimensionale la una unidimensională prin schimbarea variabilelor. De exemplu, să fie . Apoi, după înlocuirea , ecuația pentru problema "C" va lua forma: $\varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2)))$ $\xi =x+3y-2z$

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2)}}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{ 2}}),\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2} }}.

Astfel, am ajuns la o ecuație unidimensională, ceea ce înseamnă că putem folosi formula d'Alembert:

C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}la}^{\ xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\ stânga(\operatorname {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}la)-\operatorname {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}la)\right).

Datorită parității stării inițiale, soluția își va păstra forma în întreaga regiune . $t>0$

Note

↑ FORMULA KIRCHHOFF // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Formula D'Alembert Arhivată la 20 martie 2012 la Wayback Machine în Enciclopedia Fizicii

Literatură

Mihailov V.P. , Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Culegere de sarcini tipice pentru cursul Ecuații de fizică matematică. — M.: MIPT, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6 .

Link -uri

Secțiune despre formula lui d'Alembert