Formula Leibniz (derivat al unui produs)

Formula Leibniz pentru derivata --a a unui produs a două funcții este o generalizare a regulii de diferențiere a unui produs (și a unui raport) a două funcții în cazul diferențierii -fold. $n$ $n$

Fie funcțiile și funcții diferențiabile ori, atunci $f(z)$ $g(z)$ $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

unde sunt coeficienți binomi .

C_{n}^{k}={n \alegeți k}={{n!} \over {k!\;(nk)!}}

Exemple

Când , se obține regula binecunoscută pentru derivata unui produs: $n=1$

(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.

În cazul , de exemplu, avem: $n=2$

(f\cdot g)''=\sum \limits _{{k=0}}^{{2}}{C_{2}^{k}f^{{(2-k)}}g^{ {(k)}}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.

În cazul , de exemplu, avem: $n=3$

(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k) )}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.

În cazul , de exemplu, avem: $n=4$

(f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^ {(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)} }+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.

Dovada și generalizare

Dovada formulei se realizează prin inducție folosind regula produsului . Într -o notație multi-index, formula poate fi scrisă într-o formă mai generală:

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _({\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{{\ alfa -\beta }}f)(\partial ^{{\beta }}g).

Această formulă poate fi utilizată pentru a obține o expresie pentru compoziția operatorilor diferențiali. Într-adevăr, fie P și Q operatori diferențiali (cu coeficienți care sunt diferențiabili de un număr suficient de ori) și . Dacă R este și un operator diferențial, atunci egalitatea este valabilă: $R=P\circ Q$

R(x,\xi )=e^{{-{\langle x,\xi \rangle }}}R(e^{{\langle x,\xi \rangle }}).

Calculul direct dă:

R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).

Această formulă este cunoscută și sub numele de formula Leibniz .

Literatură

Shipachev V.S. Fundamentele matematicii superioare: manual pentru licee / Ed. acad. A. N. Tihonova. - M . : Şcoala superioară, 1989 . — 479 p. - ISBN 5-06-000048-6 .
Zorich V. A. Analiză matematică. Partea 1. - 2-e. - M. : FAZIS, 1997 . — 554 p. — ISBN 5-7036-0031-6 .