Funcția Walsh

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 august 2019; verificările necesită 2 modificări .

Funcțiile Walsh sunt o familie de funcții care formează un sistem ortogonal și iau valori doar +1 și -1 pe întregul domeniu de definiție.

În principiu, funcțiile Walsh pot fi reprezentate în formă continuă, dar mai des sunt definite ca șiruri discrete de elemente. Un grup de funcții Walsh formează o matrice Hadamard . $2^{n}$ $2^{n}$

Funcțiile Walsh au devenit larg răspândite în comunicațiile radio, unde sunt folosite pentru a implementa canale de divizare a codului ( CDMA ), de exemplu, în standardele celulare precum IS-95, CDMA2000 sau UMTS .

Sistemul de funcții Walsh este o bază ortonormală și, ca rezultat, permite descompunerea semnalelor de formă de undă arbitrară într-o serie Fourier generalizată .

O generalizare a funcțiilor Walsh în cazul a mai mult de două valori sunt funcțiile Vilenkin-Chrestenson .

Denumire

Fie definită funcția Walsh pe intervalul [0, T ]; în afara acestui interval, funcția se repetă periodic. Să introducem timpul fără dimensiune . Apoi funcția Walsh numerotată k se notează ca . Numerotarea funcțiilor depinde de metoda de ordonare a funcțiilor. Există o ordonare Walsh - în acest caz, funcțiile sunt notate așa cum este descris mai sus. Ordinele Paley ( ) și Hadamard ( ) sunt de asemenea comune . $\theta =t/T$ $\operatorname {wal} (k,\theta )$ $\operatorname {pal} (p,\theta )$ $\operatorname {a avut} (h,\theta )$

În ceea ce privește momentul , funcțiile Walsh pot fi împărțite în pare și impare. Ele sunt etichetate ca și respectiv. Aceste funcții sunt similare cu sinusurile și cosinusurile trigonometrice . Relația dintre aceste funcții este exprimată după cum urmează: $\theta=0$ $\operatorname {cal} (k,\theta )$ $\operatorname {sal} (k,\theta )$

\operatorname {cal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (2k,\theta),

\operatorname {sal} (k,\theta)=\operatorname {wal} (2k-1,\theta).

Formare

Există mai multe moduri de formare. Luați în considerare una dintre ele, cea mai ilustrativă: matricea Hadamard poate fi formată printr-o metodă recursivă prin construirea de matrici bloc după următoarea formulă generală:

H_{2^{n}}={\begin{bmatrix}H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\H_{2^{n-1}} &-H_{2^{n-1}}\end{bmatrix}}.

Acesta este modul în care se poate forma matricea de lungime Hadamard : $2^{n}$

H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}),

H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}),

H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix)),

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1\\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatrix}},

Fiecare rând al matricei Hadamard este o funcție Walsh.

În acest caz, funcțiile sunt ordonate conform lui Hadamard. Numărul funcției Walsh este calculat din numărul funcției Hadamard prin rearanjarea biților în notația binară a numărului în ordine inversă, urmată de conversia rezultatului din codul Gray .

Exemplu

Numărul Walsh	formă binară	Convertiți din codul Gray	Schimb de biți	Număr după Hadamard
0	000	000	000	0
unu	001	001	100	patru
2	010	011	110	6
3	011	010	010	2
patru	100	110	011	3
5	101	111	111	7
6	110	101	101	5
7	111	100	001	unu

Rezultatul este o matrice Walsh în care funcțiile sunt ordonate după Walsh:

W_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.

Proprietăți

1. Ortogonalitate

Produsul scalar a două funcții Walsh diferite este zero:

\int \limits _{0}^{1}\operatorname {wal} (n,\theta)\cdot \operatorname {wal} (k,\theta)\,d\theta =0\qquad {\ text{cu }}k\neq n.

Exemplu

Să presupunem că n = 1, k = 3 (vezi mai sus). Apoi

\int \limits _{0}^{1}\operatorname {wal} (1,\theta)\cdot \operatorname {wal} (3,\theta)\,d\theta =

=\int \limits _{0}^{1/4}1^{2}\,d\theta +\int \limits _{1/4}^{1/2}1\cdot (- 1)\,d\theta +\int \limits _{1/2}^{3/4}(-1)\cdot 1\,d\theta +\int \limits _{3/4}^{1 }(-1)^{2}\,d\theta =0.

2. Multiplicativitatea

Produsul a două funcții Walsh dă funcția Walsh:

\operatorname {wal} (n,\theta)\cdot \operatorname {wal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (i,\theta),

unde este suma pe biți modulo 2 a numerelor din sistemul binar. $i=n\oplus k$

Exemplu

Să presupunem că n = 1, k = 3. Atunci

n\oplus k=01_{2}\oplus 11_{2}=10_{2}=2.

Ca rezultat al înmulțirii, obținem:

{\begin{array}{|c|c|c|c||c|}&&&&n\\\hline 1&1&-1&-1&\operatorname {wal} (1,\theta )\\1&-1&1&- 1&\operatorname {wal} (3,\theta )\\\hline 1&-1&-1&1&\operatorname {wal} (2,\theta )\\\end{array}}

Transformarea Walsh-Hadamard

Este un caz special al transformării Fourier generalizate , în care sistemul de funcții Walsh acționează ca bază.

Seria generalizată Fourier este reprezentată de formula

S(t)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\cdot u_{i}(t),

unde este una dintre funcțiile de bază și este un coeficient. $tu_{i}$ $c_{i}$

Expansiunea semnalului în funcțiile Walsh are forma

S(t)=\sum _{k=0}^{\infty}c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,t/T).

În formă discretă, formula se scrie după cum urmează:

S(n)=\sum _{k=0}^{\infty}c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,n).

Coeficienții pot fi determinați prin efectuarea produsului scalar al semnalului descompus prin funcția Walsh de bază corespunzătoare: $c_{i}$

c_{k}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}S(t)\cdot \operatorname {wal} (k,t/T)\, dt.

Trebuie luată în considerare natura periodică a funcțiilor Walsh.

Există, de asemenea, o transformare Walsh rapidă [1] . Este mult mai eficientă decât transformata Walsh-Hadamard [2] . În plus, pentru cazul special cu două variabile, funcțiile Walsh sunt generalizate ca suprafețe [3] . Există, de asemenea, opt baze de funcții binare ortogonale similare cu funcțiile Walsh [4] care diferă în structura neregulată, care sunt, de asemenea, generalizate în cazul funcțiilor a două variabile. Pentru fiecare dintre cele opt baze, s-a demonstrat reprezentarea funcţiilor „pas” sub forma unei sume finite de funcţii binare, ponderate cu coeficienţii corespunzători [5] .

Literatură

Baskakov S. I. Circuite și semnale de inginerie radio. - M . : Liceu, 2005. - ISBN 5-06-003843-2 .
Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Serii și transformări Walsh: teorie și aplicații. — M .: Nauka, 1987.
Transformările Zalmanzon L. A. Fourier, Walsh, Haar și aplicarea lor în control, comunicare și alte domenii. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014094-5 .

Vezi și

Note

↑ TRANSFORMARE RAPIDĂ WALSH. V. N. Malozyomov Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine .
↑ Fast Walsh Transform Arhivat pe 27 martie 2014 la Wayback Machine .
↑ Romanuke VV PENTRU GENERALIZAREA FUNCȚILOR WALSH LA SUPRAFFEȚE Arhivat 16 aprilie 2016 la Wayback Machine .
↑ Romanuke VV GENERALIZAREA CELE OPPT BAZE ORTONORMALE CUNOSCUTE ALE FUNCȚILOR BINARE LA SUPRAFEȚE Arhivat 5 octombrie 2016 la Wayback Machine .
↑ Romanuke VV DISCRETE ECHIDISTANT PE FUNCȚIILE AXEI DE ARGUMENT ȘI REPREZENTAREA LOR ÎN SERIA BAZELE ORTONORMALE Arhivat 10 aprilie 2016 la Wayback Machine .