Amprenta parțială

În algebra liniară, urma parțială generalizează noțiunea de urmă a unei matrice . Urma unui operator liniar este un scalar , în timp ce urma parțială este ea însăși un operator liniar . Urma parțială este aplicată în informatica cuantică și în teoria decoerenței .

Definiție

Pentru orice spațiu , notați spațiul operatorilor liniari de pe acesta ca . Fie , spații vectoriale cu dimensiuni finite peste un câmp cu dimensiuni și, respectiv. Fie bazele din V și W și, respectiv , . $A$ $A$ $L(A)$ $V$ $W$ $m$ $n$ $v_{1},\ldots,v_{m)$ $w_{1},\ldots,w_{n)$

Urmă parțială pentru spațiu , această mapare este dată de relația $\operatorname {Tr} _{W}$ $W$ $\{a_{k\ell, ij}\}=A\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatorname {Tr} _{ W}(A)\în \operatorname {L} (V)$ $b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

Operatorul liniar definit în acest fel nu depinde de alegerea bazei și . $v_{1},\ldots,v_{m)$ $w_{1},\ldots,w_{n)$

Urmă parțială ca operație cuantică

Să luăm în considerare stările cu două particule. Vectorii de stare pură aparțin spațiului Hilbert și, respectiv, matricelor de densitate . Luați în considerare matricea densității . $H_{A}\otimes H_{B}$ $H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$ $\rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$

$\{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\)$ şi sunt bazele spaţiilor şi, respectiv. $\{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}$ $HA}$ $H_{B}$

Apoi subsistemul este descris de matricea densității $A$ $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{ {\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B))$

Literatură

D. A. Kronberg, Yu. I. Ozhigov, A. Yu. Chernyavsky (2012). „Aparatul algebric al informaticii cuantice” .