Numere Stirling de al doilea fel

În combinatorică , numărul Stirling de al doilea fel de la n la k , notat cu sau , este numărul de partiții neordonate ale unui n - element stabilit în k submulțimi nevide. $S(n,k)$ $\textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace$

Reprezentări recursive

Numerele Stirling de al doilea fel satisfac relațiile recurente :

1) pentru .

S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k)

0<k\leq n

2) .

S(n,k)=\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}S(j,k-1)

în condiţii iniţiale naturale , la şi la .

S(0,0)=1

S(n,0)=0

n>0

S(j,k)=0

k>j

Formula explicita

S(n,k)={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{{j=0}}^{k}(-1)^{{k+j}}{\binom { k}{j}}j^{n}.

Tabel de valori pentru $0\leq n,k\leq 9$

n\k	0	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9
0	unu
unu	0	unu
2	0	unu	unu
3	0	unu	3	unu
patru	0	unu	7	6	unu
5	0	unu	cincisprezece	25	zece	unu
6	0	unu	31	90	65	cincisprezece	unu
7	0	unu	63	301	350	140	21	unu
opt	0	unu	127	966	1701	1050	266	28	unu
9	0	unu	255	3025	7770	6951	2646	462	36	unu

Proprietăți

$x^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}S(n,k)\cdot (x)_{k},$ Unde $(x)_{k}=x(x-1)\cdots (x-k+1).$
$S(m,n)=\sum _{{i=n-1}}^{{m-1}}{\binom {m-1}{i}}\,S(i,n-1)$
$\sum _{{m=0}}^{n}S(n,m)=B_{n}$ este numărul Bell .

Vezi și

Link -uri

Weisstein, Eric W. Stirling Number of the Second Kind (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
D. Combinatorica Beleshko (partea 2) . Universitatea de Stat din Sankt Petersburg ITMO.