Numărul Jugi

Un număr Jugi este un număr compus astfel încât pentru oricare dintre divizorii primi ai săi sau, echivalent, astfel încât pentru oricare dintre divizorii primi ai săi . $n$ $p_{i}$ $p_{i}|\stanga({n\peste p_{i}}-1\dreapta)$ $p_{i}$ $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$

Numele este dat după matematicianul italian Giuseppe Giugi , care a studiat aceste numere în legătură cu conjectura Ago-Giuga despre numerele prime.

Definiții

O definiție echivalentă a fost dată de Takashi Agoh ( 1990 ): un număr compus este un număr Juga dacă și numai dacă : $n$

nB_{{\varphi (n)}}\equiv -1{\pmod n}

unde este numărul Bernoulli și este funcția Euler . $B$ $\varphi (n)$

Alte formulări echivalente se datorează lui Giuseppe Giuga: un număr compus este un număr Giuga dacă și numai dacă egalitatea este valabilă: $n$

\sum _{{i=1}}^{{n-1}}i^{{\varphi (n)))\equiv -1{\pmod n}

și, de asemenea, dacă și numai dacă:

\sum _{{p|n}}{\frac {1}{p}}-\prod _{{p|n}}{\frac {1}{p}}\in {\mathbb {N}} .

Toate numerele Jugi cunoscute ( ) satisfac de fapt condiția mai puternică: $n$

\sum_{p|n} \frac{1}{p} - \prod_{p|n} \frac{1}{p} = 1

Exemple

Primele cinci numere Jugi sunt:

30 , 858, 1722, 66198, 2214408306, … [1] .

De exemplu, numărul 30 este un număr Jugi, deoarece divizorii săi primi sunt 2, 3 și 5 și se poate demonstra că:

30/2 - 1 = 14, divizibil cu 2,
30/3 - 1 = 9 este pătratul lui trei și
30/5 - 1 = 5, la fel ca al treilea divizor prim.

Proprietăți

Divizorii primi ai numărului Jugi trebuie să fie diferiți. Dacă se împarte , atunci unde este divizibil cu . Deoarece nu poate fi divizibil cu , nu poate fi un număr Jugi. $p^{2}$ $n$ ${n\peste p}-1=n'-1$ $n'$ $p$ $n'-1$ $p$ $n$

Astfel, numai numerele fără pătrat pot fi numere Juga. De exemplu, divizorii lui 60 sunt 2, 2, 3 și 5 și 60/2 - 1 = 29, care nu este divizibil cu 2. Deci 60 nu este un număr Jugi.

De asemenea, semiprimele nu pot fi numere Jugi. Dacă numărul , unde sunt prime, atunci , deci nu se va împărți și, prin urmare, nu este un număr Jugi. $n=p_{1}p_{2}$ $p_{1}<p_{2}$ ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ $p_{2}$ ${n\peste p_{2}}-1$ $n$

Toate numerele Jugi cunoscute sunt pare. Dacă există un număr Jugi impar , atunci acesta trebuie să fie produsul a cel puțin paisprezece numere prime . Nu se știe dacă numărul numerelor Jugi este finit sau infinit.

Paolo Lava ( Paolo P. Lava , 2009) a presupus că numerele Jugi sunt soluții ale unei ecuații diferențiale aritmetice , unde este derivata aritmetică a lui . José Maria Grau și Antonio Oller-Marcén au arătat că un număr întreg este un număr Juga dacă și numai dacă satisface o ecuație diferențială aritmetică pentru un număr întreg . $n'=n+1$ $n'$ $n$ $n$ $n'= un +1$ $a>0$

Vezi și

Probleme nerezolvate la matematică : succesiunea numerelor Jugi este infinită? Probleme nerezolvate la matematică : Există un număr Jugi compus care este, de asemenea, un număr Carmichael ?

numărul Carmichael
Număr pseudoperfect simplu

Note

↑ Secvența OEIS A007850 _

Link -uri

Weisstein, Eric W. Giuga Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
D. Borwein, JM Borwein, PB Borwein, R. Girgensohn. Conjectura lui Giuga despre primalitate // American Mathematical Monthly . - 1996. - T. 103 . — S. 40–50 . - doi : 10.2307/2975213 . Arhivat din original la 31 mai 2005.
Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava. Centotre curiosità matematiche. - Milano: Hoepli Editore, 2010. - P. 129. - ISBN 978-88-203-4556-3 .