Numerele Leyland

Numerele Leyland  sunt numere naturale reprezentate ca x y + y x , unde x și y  sunt numere întregi mai mari decât 1 [1] . Uneori, 3 este denumit și număr Leyland [2] .

Primele numere Leyland [2] :

3 , 8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320, 368, 512, 593, 945 , 1124, 1649, 2169, 2530, 2530, …

Cerința ca x și y să fie mai mari decât 1 este de o importanță esențială, deoarece fără ea orice număr natural ar fi reprezentabil ca x 1 + 1 x . În plus, datorită comutativității adunării, condiția x ≥ y este de obicei adăugată pentru a evita acoperirea dublă a numerelor Leyland. Astfel, domeniul lui x și y este definit de inegalitatea 1 < y ≤ x .

Primele Leyland

Primele câteva numere prime Leyland [ 3] [4] :

17 \u003d 3 2 + 2 3 , 593 \u003d 9 2 + 2 9 , 32993 = 152 + 215 _ 2097593 = 212 + 221 , 8 589 935 681 \u003d 33 2 + 2 33 , 59 604 644 783 353 250 = 24 5 + 5 24 , …

În iunie 2008 , cel mai mare prim Leyland cunoscut a fost

2638 4405 + 4405 2638

cu 15.071 de cifre [5] , a căror simplitate a fost dovedită în 2004 folosind algoritmul fastECPP [6] .

După aceea, s-au găsit numere prime Leyland și mai mari, de exemplu, 5122 6753 + 6753 5122 (25050 zecimale) [7] . În decembrie 2012, s-a dovedit că numerele 3110 63 + 63 3110 (5596 zecimale) și 8656 2929 + 2929 8656 (30008 zecimale) sunt și ele prime. Ultimul dintre aceste numere conține până acum un număr record de zecimale [8] . Există candidați principali, de exemplu, 314738 9 + 9 314738 [9] , dar simplitatea lor nu a fost încă dovedită.

Aplicație

Numerele de formă s-au dovedit a fi cazuri de testare bune pentru algoritmii de factorizare universală din cauza descrierii lor algebrice simple și a lipsei de proprietăți evidente care să permită aplicarea oricărui algoritm de factorizare special [4] [6] .

Note

  1. ↑ Prime Numbers: A Computational Perspective, 2005 .
  2. ↑ 1 2 secvența OEIS A076980 _
  3. ↑ Secvența OEIS A094133 _
  4. ↑ 1 2 Prime și Pseudoprime puternice de forma x y + y x (link descendent) . Paul Leyland. Data accesului: 14 ianuarie 2007. Arhivat din original la 10 februarie 2007. 
  5. ↑ Eliptic Curve Primality Proof (link indisponibil) . Chris Caldwell. Consultat la 24 iunie 2008. Arhivat din original pe 10 decembrie 2008. 
  6. ↑ 1 2 Prime Numbers: A Computational Perspective, 2005 , p. patru.
  7. ↑ Dovada primarității curbei eliptice . Chris Caldwell. Preluat: 3 aprilie 2011.
  8. ↑ CIDE lui Mihailescu . mersenneforum.org (11 decembrie 2012). Preluat: 26 decembrie 2012.
  9. ↑ Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, Căutare PRP Top Records

Literatură