Numar natural

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 septembrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Numere naturale (din lat. naturalis „natural”) - numere care apar în mod natural la numărare (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 și așa mai departe [1] ). Secvența tuturor numerelor naturale dispuse în ordine crescătoare se numește serie naturală [2] .

Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural există un număr natural mai mare decât . Numerele negative și non-întregi nu sunt clasificate ca numere naturale. $n$ $n$

Proprietățile numerelor naturale și operațiile cu acestea sunt studiate prin aritmetică și (mai aprofundat) teoria numerelor .

Istorie

Perioada antică

Cel mai primitiv mod de a reprezenta un număr natural este de a pune o etichetă la numărarea fiecărui obiect. Ulterior, un set de obiecte poate fi verificat pentru egalitate, exces sau deficiență - prin ștergerea marcajului și eliminarea obiectului din set. Primul progres major în abstractizare a fost utilizarea numerelor pentru a desemna numere naturale. Acest lucru a permis dezvoltarea sistemelor de scriere a numerelor mari. Vechii egipteni au dezvoltat un sistem numeric extins cu hieroglife clare pentru 1, 10 și toate puterile de la 10 la peste 1 milion. Pe o sculptură în piatră de la Karnak , datând din aproximativ 1500 î.Hr. iar acum în Luvru , numărul 276 este reprezentat ca 2 sute, 7 zeci și 6 unități; și la fel și pentru numărul 4622 [3] .

O dezvoltare mult mai recentă a fost dezvoltarea ideii că zero ar putea fi gândit ca un număr cu propria sa cifră. Utilizarea numărului 0 în desemnarea unui loc (în alte numere) datează din anul 700 î.Hr. de către babilonieni, care au omis o astfel de cifră când era ultimul caracter din numărul [a] . Zero a fost folosit ca număr în calculul medieval (calcularea datei Paștelui) începând cu Dionysius Exiguus în 525 d.Hr., fără a fi reprezentat de un număr (numerele romane standard nu au simbol pentru 0). În schimb, lat a fost folosit pentru a desemna valoarea zero. nulla (sau genitiv lat. nullae care înseamnă „nu”) [5] . Utilizarea lui zero în vremurile moderne a apărut cu matematicianul indian Brahmagupta în 628 d.Hr.

Primul studiu sistematic al numerelor ca abstracții este de obicei atribuit filozofilor greci Pitagora și Arhimede . Unii matematicieni greci au tratat numărul 1 diferit de numerele mari și uneori deloc ca numărul [b] . Euclid, de exemplu, a definit mai întâi esența unei unități, iar apoi numărul ca un set de unități, astfel, prin definiția sa, o unitate nu este un număr și nu există numere unice (de exemplu, oricare două unități din un set nedefinit de unități sunt numărul 2) [7] .

Perioada modernă

În Europa secolului al XIX-lea, au existat discuții matematice și filozofice despre natura exactă a numerelor naturale. Henri Poincaré a fost unul dintre susținătorii unui astfel de concept, la fel ca și Leopold Kronecker , care și-a rezumat credința astfel: „ Dumnezeu a creat numerele întregi, orice altceva este opera omului ”. Un astfel de concept a fost definit ca naturalist [c] .

Spre deosebire de naturaliști , constructiviștii au văzut nevoia de a îmbunătăți baza logică în bazele matematicii. În anii 1860, Hermann Grassmann a propus o definiție recursivă a numerelor naturale, afirmând astfel că acestea nu sunt în întregime naturale, ci sunt o consecință a definițiilor. Mai mult, au fost construite două clase de astfel de definiții formale; s-au dovedit ulterior a fi echivalente în majoritatea aplicațiilor practice.

Definițiile teoretice de mulțimi ale numerelor naturale au fost inițiate de Frege. Inițial, el a definit un număr natural ca clasa tuturor mulțimilor care sunt în corespondență unu-la-unu cu o anumită mulțime. Cu toate acestea, această definiție a condus la paradoxuri, inclusiv paradoxul lui Russell . Pentru a evita astfel de paradoxuri, formalismul a fost modificat în așa fel încât un număr natural este definit ca o mulțime specifică, iar orice mulțime care poate fi pusă într-o corespondență unu-la-unu cu această mulțime se spune că are acest număr de elemente. [9] .

A doua clasă de definiții a fost introdusă de Charles Sanders Peirce , rafinată de Richard Dedekind și explorată de Giuseppe Peano - această abordare se numește acum axiomele lui Peano . Se bazează pe axiomatizarea proprietăților numerelor ordinale: fiecare număr natural are un succesor, iar fiecare număr natural diferit de zero are un predecesor unic. Aritmetica Peano este echivalentă cu mai multe sisteme slabe de teorie a mulțimilor. Un astfel de sistem este sistemul Zermelo-Fraenkel (ZFC), în care axioma infinitului este înlocuită cu negația sa. Printre teoremele care pot fi demonstrate în ZFC , dar care nu pot fi demonstrate folosind axiomele Peano se numără Teorema Paris-Harrington , Teorema Goodstein și altele [10] .

Pe această bază de definiții, este convenabil să includeți zero (corespunzător mulțimii goale) ca număr natural. Includerea lui zero este acum obișnuită între teoria mulțimilor [11] și construcțiile logice [12] .

Locul Zero

Există două abordări ale definiției numerelor naturale:

numere care apar la numărarea (numerotarea) obiectelor: primul , al doilea , al treilea , al patrulea , al cincilea ...;
numere care apar la indicarea numărului de articole: 0 articole , 1 articol , 2 articole , 3 articole , 4 articole , 5 articole ...

În primul caz, seria numerelor naturale începe de la unu , în al doilea - de la zero . Nu există o opinie comună pentru majoritatea matematicienilor cu privire la preferința primei sau celei de a doua abordări (adică dacă să considerăm zero ca număr natural sau nu). În marea majoritate a surselor rusești, prima abordare este adoptată în mod tradițional [13] . A doua abordare, de exemplu, este luată în scrierile lui Nicolas Bourbaki , unde numerele naturale sunt definite ca cardinalități ale mulțimilor finite . Prezența zeroului facilitează formularea și demonstrarea multor teoreme în aritmetica numerelor naturale, astfel că prima abordare introduce conceptul util al unei serii naturale extinse incluzând zero [13] .

Setul tuturor numerelor naturale este de obicei notat cu simbolul . Standardele internaționale ISO 31-11 (1992) și ISO 80000-2 (2009) stabilesc următoarele denumiri [14] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - numere naturale, inclusiv zero: $\{0,1,2,3,4\dots\}.$
$\mathbb {N^{*}}$ - numere naturale fără zero: $\{1,2,3,4\dots\}.$

La fel ca și în ISO, notația pentru setul de numere naturale este fixată în GOST rus 2011: R 54521-2011, tabelul 6.1 [15] . Cu toate acestea, în sursele rusești acest standard nu este încă respectat - în ele, simbolul denotă numere naturale fără zero, iar seria naturală extinsă este notă etc. [13] $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0)$

Axiome care fac posibilă definirea mulțimii numerelor naturale

Axiomele lui Peano pentru numerele naturale

O mulțime va fi numită mulțime de numere naturale dacă un element 1 (unu), o funcție cu domeniul de definiție , numită funcție de succesiune ( ), este fixă și sunt îndeplinite următoarele condiții: $\mathbb {N}$ $S$ $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N}$

elementul unu aparține acestei mulțimi ( ), adică este un număr natural; $1\în\mathbb{N}$
numărul care urmează unui număr natural este de asemenea un număr natural (dacă , atunci sau, într-o notație mai scurtă, ); $x\in \mathbb {N}$ $S(x)\in \mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$
unitatea nu urmează niciun număr natural ( ); $\nexistă x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)$
dacă un număr natural urmează direct atât unui număr natural cât și unui număr natural , atunci și este același număr (dacă și , atunci ); $A$ $b$ $c$ $b$ $c$ $S(b)=a$ $S(c)=a$ $b=c$
( axioma de inducție ) dacă se dovedește orice propoziție (enunț) pentru un număr natural ( baza de inducție ) și dacă din ipoteza că este adevărată pentru un alt număr natural rezultă că este adevărată pentru următorul număr natural ( presupoziție inductivă ) , atunci aceasta propoziție este adevărată pentru toate numerele naturale ( fie un predicat unar (unar) , al cărui parametru este un număr natural . Atunci, dacă și , atunci ). $P$ $n=1$ $n$ $n$ $P(n)$ $n$ $P(1)$ $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$ $\forall n\;P(n)$

Axiomele de mai sus reflectă înțelegerea noastră intuitivă a seriei naturale și a dreptei numerice .

Faptul fundamental este că aceste axiome determină în mod esențial în mod unic numerele naturale (natura categorială a sistemului de axiome ale lui Peano). Și anume, se poate demonstra (vezi [16] , precum și o scurtă demonstrație [17] ) că dacă și sunt două modele pentru sistemul de axiome Peano, atunci ele sunt neapărat izomorfe , adică există o mapare inversabilă ( bijecție ). ) astfel încât şi pentru toţi . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Prin urmare, este suficient să fixați ca oricare model specific al mulțimii de numere naturale. $\mathbb {N}$

Uneori, mai ales în literatura străină și tradusă, prima și a treia axiomă a lui Peano înlocuiesc una cu zero. În acest caz, zero este considerat un număr natural. Când este definit în termeni de clase de mulțimi echivalente, zero este un număr natural prin definiție. Ar fi nefiresc să-l aruncăm în mod specific. În plus, acest lucru ar complica semnificativ construcția și aplicarea ulterioară a teoriei, deoarece în majoritatea construcțiilor zero, precum mulțimea goală, nu este ceva izolat. Un alt avantaj de a considera zero ca număr natural este că formează un monoid atunci când face acest lucru . După cum am menționat mai sus , în literatura rusă, zero este în mod tradițional exclus din numărul de numere naturale. $\mathbb {N}$

Definiția teoretică a mulțimii numerelor naturale (definiția Frege-Russell)

Conform teoriei mulţimilor , singurul obiect al construcţiei oricăror sisteme matematice este mulţimea .

Astfel, sunt introduse și numerele naturale, pe baza conceptului de mulțime, după două reguli:

$0=\varnothing ;$
$S(n)=n\cup\left\{n\right\}.$

Numerele date în acest fel se numesc ordinale .

Să descriem primele câteva numere ordinale și numerele lor naturale corespunzătoare:

$0=\varnothing ;$
$1=\varnothing \cup \left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\};$
$2=1\cup \left\{1\right\}={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \));$
$3=2\cup \left\{2\right\}={\Big \{}\varnothing,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnimic \right\}{\big \}}{\Big \}}.$

Cardinalitatea mulțimii numerelor naturale

Generalizarea numărului de elemente ale unei mulțimi finite la mulțimi infinite se caracterizează prin conceptul de „ putere a unei mulțimi ”. În ceea ce privește cardinalitatea, mulțimea numerelor naturale este mai mare decât orice mulțime finită, dar mai mică decât orice interval , de exemplu, . Mulțimea numerelor naturale este echivalentă cu mulțimea numerelor raționale . Orice mulțime care este echivalentă cu mulțimea numerelor naturale se numește mulțime numărabilă . Astfel, setul de termeni ai oricărei secvențe este numărabil. În același timp, există o succesiune în care fiecare număr natural apare de un număr infinit de ori, deoarece mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentată ca o uniune numărabilă de mulțimi numărabile disjunse (de exemplu [18] , ). $(0,1)$ $\mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{ k}\dreapta)$

Operații pe numere naturale

Operațiile închise (operațiile care nu scot un rezultat din setul de numere naturale) pe numere naturale includ următoarele operații aritmetice:

adunare : termen + termen = suma;
multiplicare : multiplicator × multiplicator = produs;
exponentiație :, unde este baza gradului, este exponentul. Dacăși sunt numere naturale, atunci rezultatul este și un număr natural. $a^{b}$ $A$ $b$ $A$ $b$

În plus, sunt luate în considerare încă două operații (din punct de vedere formal, nu sunt operații pe numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toate perechile de numere (uneori există, alteori nu)):

scădere : minuend - subtrahend = diferență. În acest caz, minuendul trebuie să fie mai mare decât subtraend (sau egal cu acesta, dacă considerăm zero ca număr natural);
împărțire cu rest : dividend / divizor = (cot, rest). Coeficientulși restulîmpărțiriilasunt definite după cum urmează:, și. Rețineți că atunci când definiția este generalizată la mulțimea de numere întregi nenegative, ultima condiție interzice împărțirea la zero, deoarece această mulțime nu conține. $p$ $r$ $A$ $b$ $a=p\cdot b+r$ $r<b$ $r<0$

De remarcat că operațiile de adunare și înmulțire sunt fundamentale. În special, inelul numerelor întregi este definit tocmai prin operațiile binare de adunare și înmulțire.

Proprietăți de bază

Comutativitatea adunării:

a+b=b+a.

Comutativitatea înmulțirii:

a\cdot b=b\cdot a.

Asociativitatea adunării:

(a+b)+c=a+(b+c).

Asociativitatea înmulțirii:

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).

Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

{\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{ cazuri}}.

Structura algebrică

Adunarea transformă mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu unitate, rolul de unitate este jucat de 0 . Înmulțirea transformă, de asemenea, mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu unitate, 1 fiind elementul de identitate . Cu ajutorul închiderii sub operațiile de adunare-scădere și înmulțire-împărțire se obțin grupurile de numere întregi și, respectiv, de numere pozitive raționale . $\mathbb {Z}$ $\mathbb Q^*_+$

Definiții teoretice de mulțimi

Să folosim definiția numerelor naturale ca clase de echivalență de mulțimi finite. Dacă desemnăm clasa de echivalență a mulțimii A , generată prin bijecții, folosind paranteze drepte: [ A ], operațiile aritmetice de bază sunt definite astfel:

$[A]+[B]=[A\sqcup B];$
$[A]\cdot [B]=[A\times B];$
${[A]}^{[B]}=[A^{B}],$

Unde:

$A \sqcup B$ — unirea disjunctă a mulțimilor ;
$A\ori B$ - produs direct ;
$A^B$ este mulţimea mapărilor de la B la A .

Se poate arăta că operațiile rezultate pe clase sunt introduse corect, adică nu depind de alegerea elementelor de clasă și coincid cu definițiile inductive.

Fapte interesante

Prin extinderea funcției într-o serie, se poate arăta că suma tuturor numerelor naturale este egală cu −1/12 [19] .

Vezi și

Comentarii

↑ Tableta Kish , despre care se crede că este datată cu aproximativ 700 î.Hr., folosește trei cârlige pentru a indica un spațiu gol în denumirea de referință. Alte mese care datează aproximativ din aceeași perioadă folosesc un singur cârlig pentru spațiul liber. [patru]
↑ Această prevedere este folosită, de exemplu, în Elementele lui Euclid, vezi ediția online a cărții a VII-a a lui D. Joyce. [6]
↑ Traducere în engleză - din Gray. Într-o notă de subsol, Gray indică sursa citatului german: „ Weber 1891–1892, 19, citat din prelegerea lui Kronecker din 1886 ”. [opt]

Note

↑ Secvența OEIS A000027 _
↑ Matematică elementară, 1976 , p. optsprezece.
↑ Ifrah, Georges. Istoria universală a numerelor . - Wiley, 2000. - ISBN 0-471-37568-3 .
↑ Istoria lui Zero . MacTutor Istoria matematicii . Data accesului: 23 ianuarie 2013. Arhivat din original la 19 ianuarie 2013. (nedefinit)
↑ Deckers, Michael Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Ciclul de nouăsprezece ani al lui Dionysius . Hbar.phys.msu.ru (25 august 2003). Consultat la 13 februarie 2012. Arhivat din original la 15 ianuarie 2019. (nedefinit)
↑ Euclid . Cartea VII, definițiile 1 și 2 // Elemente . - Universitatea Clark.
↑ Mueller, Ian. Filosofia matematicii și structura deductivă în Elementele lui Euclid . - Mineola, New York: Dover Publications, 2006. - P. 58. - ISBN 978-0-486-45300-2 .
↑ Grey, Jeremy. Fantoma lui Platon: Transformarea modernistă a matematicii . - Princeton University Press, 2008. - P. 153. - ISBN 978-1-4008-2904-0 . Arhivat pe 29 martie 2017 la Wayback Machine
↑ Eves, 1990 , capitolul 15
↑ Kirby, Laurie; Paris, Jeff (1982). „Rezultate de independență accesibile pentru aritmetica Peano.” Buletinul Societății de Matematică din Londra . Wiley. 14 (4): 285-293. DOI : 10.1112/blms/14.4.285 . ISSN 0024-6093 .
↑ Bagaria, Joan. Teoria multimilor . - Iarna 2014. - The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2017. Arhivat 14 martie 2015 la Wayback Machine
↑ Goldrei, Derek. 3 // Teoria clasică a seturilor: un studiu independent ghidat . - 1. ed., 1. tipar. - Boca Raton, Fla. [ua] : Chapman & Hall/CRC, 1998. — P. 33 . - ISBN 978-0-412-60610-6 .
↑ 1 2 3 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra și analiza funcțiilor elementare. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 p.
↑ Standardul internațional 80000-2:2009. Partea 2 . NCSU COE Oameni . Preluat la 12 august 2019. Arhivat din original la 28 februarie 2019. (nedefinit)
↑ GOST R 54521-2011 Metode statistice. Simboluri și semne matematice pentru aplicare în standarde (Reeditare) din 24 noiembrie 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Preluat la 14 ianuarie 2022. Arhivat din original la 9 iulie 2021. (nedefinit)
↑ Feferman S. Sisteme numerice. Bazele algebrei și analizei. - 1971. - 445 p.
↑ Dovada unicității numerelor naturale . Data accesului: 4 februarie 2011. Arhivat din original pe 22 august 2011. (nedefinit)
↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. Problema nr. 48 // Probleme și exerciții de analiză matematică. Cartea 1. - Ed. a II-a. - M . : Şcoala superioară , 2000. - S. 146 (formulare), 163 (răspuns).
↑ Întrebare pentru un om de știință: cum se adună toate numerele naturale și se obține -1/12? . mipt.ru. _ Preluat la 30 decembrie 2020. Arhivat din original la 10 februarie 2021. (nedefinit)

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . — M .: Nauka, 1978.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Eves, Howard (1990), O introducere în istoria matematicii (ed. a 6-a), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4 , < https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ >
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory , Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6 , < https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v =onepage&q=peano%20axioms&f=false >
Hamilton, A.G. (1988), Logic for Mathematicians (ed. revizuită), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0 , < https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano% 27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false >
James, Robert C. și James, Glenn (1992), Dicționar de matematică (ed. a cincea), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0 , < https://books.google.com/books?id =UyIfgBIwLMQC >
Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis (Ed. a treia), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5 , < https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ >
Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (ed. a treia), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2 , < https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg =PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false >
Mendelson, Elliott (2008), Sistemele numerice și fundamentele analizei , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5 , < https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC >
Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures (Ed. a doua), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3 , < https://books.google.com /books?id=fH9YAAAAYAAJ >
Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (ed. a 10-a), Wiley Global Education , ISBN 978-1-118-45744-3 , < https://books .google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ >

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Numărul natural , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Szczepanski, Amy F. & Kositsky, Andrew P. (2008), Ghidul complet al idiotului pentru pre-algebră , Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9 , < https://books.google.com/books ?id=wLA2tlR_LYYC >
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B. & Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis (Ed. a doua), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8 , < https://books.google.com/ cărți?id=vA9d57GxCKgC >

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNF : 120988295 GND : 4041357-3 J9U : 987007538748705171 LCCN : sh85093214 LNB : 000112174 NKC : ph124920

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

numere întregi

Pana la 100

0
unu
2
3
patru
5
6
7
opt
9
zece
unsprezece
12
13
paisprezece
cincisprezece
16
17
optsprezece
19
douăzeci
21
22
23
24
25
26
27
28
29
treizeci
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
45
46
47
48
cincizeci
51
52
53
54
55
56
57
60
61
62
63
64
66
68
69
70
71
72
73
74
76
77
78
79
80
81
82
83
85
87
88
89
90
91
92
95
97
98
99

100 și mai mult