Celularitatea

Celularitatea ( numărul Suslin ) este o caracteristică topologică a unui spațiu topologic determinată de numărul maxim de mulțimi disjunse pe perechi deschise din . Este un invariant cardinal și este notat cu . $X$ $X$ $c(X)$

Ca și în cazul multor invarianți topologici generali , celularitatea finită nu prezintă interes; se consideră că nu este mai puțin decât numărabil (adică ). $\aleph_0$

Ereditatea

Nu este un invariant ereditar , adică un subspațiu poate avea o celularitate mai mare decât . De exemplu, este suficient să înmulțiți un punct dintr-un segment de un număr nenumărat de ori, atunci subspațiul zerourilor înmulțite va avea o celularitate mai mare decât segmentul, adică mai mult , adică . Un alt exemplu de non-moștenire a celularității este planul Nemytsky . $U\subseteq X$ $c(X)$ $0$ $[0,1]$ $\aleph_0$ $\aleph _{0}=c(X)<hc(X)={\mathfrak {c))$

Legătura cu alți invarianți

Celularitatea spațiului nu depășește densitatea acestuia (care, la rândul ei, nu depășește greutatea ): . De asemenea, celularitatea nu depaseste spread- ul (care nu depaseste nici greutatea): . $c(X)\leqslant d(X)\leqslant w(X)$ $c(X)\leqslant hc(X)\leqslant w(X)$

Pentru spațiile ordonate liniar, caracterul lor nu depășește celularitatea: . În plus, pentru spațiile ordonate liniar, celularitatea coincide cu răspândirea și numărul ereditar Lindelöf : . $\chi (X)\leqslant c(X)$ $c(X)=hc(X)=hl(X)$

Celularitatea unui spațiu topologic nu depășește numărul lui Lindelöf și întinderea sa (care, la rândul ei, nu depășește numărul Lindelöf): . $X$ $e(X)\leqslant l(X)\leqslant c(X)$

Exemple

Pentru o linie reală : . Pentru numere naturale și întregi: . $\mathbb {R}$ $c(\mathbb {R} )=\aleph _{0}$ $c(\mathbb {Z} )=c(\mathbb {N} )=\aleph _{0)$

Pentru un spațiu de putere discret : . $\tau$ $c(D_{\tau })=\tau$

Pentru arici înțepător : . (Când (este suficient să luați un set deschis în fiecare „ac” care să nu depășească „ac”). $\tau$ $c(J(\tau ))=\tau$ $\tau \geqslant \aleph _{0}$

În general, pentru un subspațiu al spațiului euclidian : . $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $c(U)\leqslant \aleph _{0)$

Literatură

Engelking, Ryszard. Topologie generală. - M .: Mir , 1986. - S. 103.333. — 752 p.