Numărul de rotație

În teoria sistemelor dinamice , o ramură a matematicii , numărul de rotație al unui homeomorfism care păstrează orientarea al unui cerc este „numărul mediu de rotații pe iterație” pe o iterație lungă a unui punct. Mai precis, este limita raportului dintre „numărul de revoluții” (definit cumva) și numărul de iterații.

Definiție

Pentru o definiție formală, în loc de homeomorfism de cerc, se consideră ridicarea acestuia pentru a acoperi cercul cu o linie . Numărul de forfecare al acestei ridicări este definit ca limită $f:S^{1}\la S^{1}$ $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n)),

unde este un punct arbitrar. Numărul de rotație f este apoi definit ca $x\in \mathbb {R}$

\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}

Proprietăți

Numărul de rotație este un invariant al unei conjugări topologice care păstrează orientarea și chiar o semiconjugare prin mapări de gradul 1: dacă este o mapare de gradul 1 astfel încât , unde sunt homeomorfisme de cerc, atunci numerele de rotație și coincid. $h:S^{1}\la S^{1}$ $f\circ h=h\circ g$ $f,g$ $f$ $g$
După cum afirmă teorema lui Poincaré , numărul de rotație este rațional dacă și numai dacă maparea are un punct periodic.
Teorema lui Denjoy afirmă că, dacă o mapare este C 2 - lină și numărul său de rotație este irațional, atunci este conjugată la o rotație cu . $f$ $\rho (f)$ $f$ $\rho (f)$
Numărul de rotație depinde continuu de homeomorfism - maparea este continuă. $\rho :Homeo(S^{1})\la S^{1}$

Literatură

Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice / trad. din engleza. A. Kononenko cu participarea lui S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .