De bază (statistici)

Nucleul ( nucleul englezesc ) în statistică și econometrie se numește fereastra (funcția de greutate). statisticile bayesiene , neparametrice și teoria recunoașterii modelelor tratează termenul în mod diferit.

Statistici neparametrice

În statisticile neparametrice , un nucleu este o funcție de pondere utilizată în estimarea distribuțiilor și a parametrilor ( estimarea densității nucleului , regresia nucleului ). Kernel-urile sunt de asemenea aplicate în analiza seriilor de timp . Evaluarea nucleului necesită specificarea lățimii ferestrei.

Definiție

O funcție integrabilă K cu valoare reală nenegativă se numește nucleu. În cele mai multe cazuri, este de dorit ca funcția să îndeplinească încă două cerințe:

Rationare:

\int _{-\infty }^{+\infty }K(u)\,du=1\,;

Simetrie:

K(-u)=K(u)\quad \forall u\,.

Dacă funcția are prima proprietate, atunci rezultatul estimării densității nucleului va fi într-adevăr o densitate de probabilitate . A doua proprietate asigură că media distribuției este egală cu media eșantionului utilizat.

Dacă funcția K este un nucleu, atunci funcția K *( u ) = λ K (λ u ) pentru λ > 0 va fi și ea un nucleu. Acest rezultat vă permite să alegeți o scară care este potrivită pentru datele disponibile.

Funcțiile kernel utilizate în mod obișnuit

În practică, mai multe tipuri de sâmburi sunt comune: uniforme, triunghiulare, Epanechnikovo [1] , Gaussian și așa mai departe.

Mai jos este un tabel care listează nucleele utilizate în mod obișnuit. Dacă suportul nucleului K este mărginit, atunci pentru toate valorile lui u în afara suportului lui . $K(u)=0$

Funcții kernel, K ( u )		$\textstyle \int u^{2}K(u)du$	$\textstyle \int K(u)^{2}du$	Eficiența [2] față de nucleul Epanechnikov
Uniformă	$K(u)={\frac {1}{2)}$ Purtător: $\|u\|\leq 1$	${\frac 13}$	$\frac12$	92,9%
triunghiular	$K(u)=(1-\|u\|)$ Purtător: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {2}{3))$	98,6%
Epanechnikovo (parabolic)	$K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})$ Purtător: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5))$	100%
Bisquare	$K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}$ Purtător: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{7))$	${\frac {5}{7}}$	99,4%
Tripătrat	$K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}$ Purtător: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {350}{429}}$	98,7%
Tricubic	$K(u)={\frac {70}{81}}(1-{\left\|u\right\|}^{3})^{3}$ Purtător: $\|u\|\leq 1$	${\frac {35}{243}}$	${\frac {175}{247}}$	99,8%
gaussian	$K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}$	$unu\,$	${\frac {1}{2{\sqrt {\pi }))}$	95,1%
cosinus	$K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)$ Purtător: $\|u\|\leq 1$	$1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}$	${\frac {\pi ^{2}}{16}}$	99,9%
Logistică	$K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u)))$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	88,7%
Sigmoid	$K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u))}$	${\frac {\pi ^{2}}{4}}$	${\frac {2}{\pi ^{2}}}$	84,3%
Silverman [3]	$K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\|u\|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac { \|u\|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)$	$0$	${\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}$	nedeterminat

Grafice ale unor nuclee

Vezi și

Estimarea densității nucleare ( estimarea densității )
Netezire nucleară
Miez stocastic

Note

↑ Epanechnikov, VA Estimarea neparametrică a unei densități de probabilitate multivariată // Teoria probabilă . Aplic. : jurnal. - 1969. - Vol. 14 , nr. 1 . - P. 153-158 . - doi : 10.1137/1114019 .
↑ Eficiența definită ca . ${\sqrt {\int u^{2}K(u)\,du))\int K(u)^{2}\,du$
^ Silverman, BW Density Estimation for Statistics and Data Analysis . — Chapman și Hall, Londra, 1986.

Literatură

Li, Qi; Racine, Jeffrey S. Econometrie neparametrică: Teorie și practică . - Princeton University Press , 2007. - ISBN 0-691-12161-3 .

Zucchini, Walter TEHNICI APLICATE DE NETEZIRE Partea 1: Estimarea densității miezului (link nu este disponibil) . Preluat la 12 august 2015. Arhivat din original la 5 martie 2016. (nedefinit)

Comaniciu, D; Meer, P. Schimbarea medie: O abordare robustă față de analiza spațiului de caracteristici // Tranzacții IEEE privind analiza modelelor și inteligența mașinilor : jurnal. - 2002. - Vol. 24 , nr. 5 . - P. 603-619 . - doi : 10.1109/34.1000236 .