Axioma alegerii dependente

Axioma alegerii dependente este una dintre slăbiciunile axiomei alegerii . De obicei notat ca . Axioma alegerii dependente decurge din axioma completă a alegerii și implică axioma alegerii numărabile , deci în . $\mathbf {DC}$ $\mathbf {ZF}$ $\mathbf {AC} _{\omega }<\mathbf {DC} <\mathbf {AC}$

Instrucțiune: dacă este dată o mulțime arbitrară nevide cu o relație stânga-complet (relația se numește stânga-complet dacă pentru oricare există , că ), atunci există o succesiune de elemente astfel încât [1] : $X$ $R$ $R$ $X$ $y$ $xRy$ $x_{n}$ $X$

\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Rx_{n+1}

Următoarele afirmații sunt echivalente în axioma alegerii dependente: teorema categoriei lui Baer [2] ; Teorema Löwenheim-Skolem [3] [4] ; Lema lui Zorn pentru lanțuri finite . Lema Zorn pentru lanțuri finite are două formulări echivalente: $\mathbf {ZF}$

dacă într-o mulțime parțial ordonată toate lanțurile sunt finite, atunci mulțimea are un element maxim. [1] ;
dacă într-o mulțime parțial ordonată toate lanțurile bine ordonate sunt finite, atunci mulțimea are un element maxim. [5]

(Chiar dacă a doua formulare este mai puternică decât prima, ele sunt echivalente în .) $\mathbf {ZF}$

Generalizări

Axioma alegerii dependente pentru secvențele transfinite: dacă în formularea axiomei alegerii dependente permitem nu numai secvențe numărabile, ci și transfinite, putem obține o întărire a acestei axiome.

Să fie ceva ordinal. Funcția se numește o secvență transfinită de tip . Se notează prin mulțimea tuturor secvențelor de tip mai mici decât . Axioma de alegere dependentă pentru secvențele transfinite este formulată pentru un anumit ordinal inițial și se notează ca . $\gamma$ $x_{\alpha }\colon \gamma \to X$ $\gamma$ $S_{\gamma }$ $\gamma$ $\lambda$ $\mathbf {DC} _{\lambda }$

Să fie dată o mulțime nevidă și o relație binară completă stângă . Apoi afirmă că există o secvență transfinită de tip astfel încât [5] . $X$ $R\subset S_{\gamma }\times X$ $\mathbf {DC} _{\lambda }$ $\{a_{n}\}_{n\in \lambda }$ $\lambda$ $\forall \mu <\lambda \colon \{a_{n}\}_{n\in \mu }Ra_{\mu }$

Axioma este echivalentă cu . Generalizările pentru ordinale mari sunt strict mai puternice decât aceasta, dar mai slabe decât axioma completă a alegerii: . Îndeplinirea oricăror ordinale inițiale este echivalentă cu axioma completă a alegerii: [6] . $\mathbf {DC} _{\omega )$ $\mathbf {DC}$ $\mathbf {DC} <\mathbf {DC} _{\omega _{1}}<\mathbf {DC} _{\omega _{2}}<\ldots <\mathbf {AC}$ $\mathbf {DC} _{\lambda }$ $(\forall \lambda \colon \mathbf {DC} _{\lambda})\Săgeată la stânga \mathbf {AC}$

Pentru axiome , există slăbiri echivalente corespunzătoare ale lemei lui Zorn: $\mathbf {DC} _{\lambda }$

dacă într-o mulțime parțial ordonată toate lanțurile sunt complet ordonate, au un tip de ordine mai mic decât și au o limită superioară, atunci mulțimea are un element maxim [5] ; $\lambda$
dacă într-o mulțime parțial ordonată fiecare lanț bine ordonat are un tip de ordine mai mic decât și are o limită superioară, atunci mulțimea are un element maxim [5] . $\lambda$

Note

↑ 12 Wolk , 1983 , p. 365.
↑ Blair, 1977 .
↑ Moore, 1982 , p. 325.
↑ Boolos, 1989 , p. 155.
↑ 1 2 3 4 Wolk, 1983 , p. 366.
↑ Wolk, 1983 , p. 367.

Literatură

Wolk Elliot S. Despre principiul alegerilor dependente și unele forme ale lemei lui Zorn (engleză) // Canadian Mathematical Bulletin : journal. - 1983. - Vol. 26 , nr. 3 . — P. 365–367 . - doi : 10.4153/CMB-1983-062-5 .
Blair Charles E. Teorema categoriei Baire implică principiul alegerilor dependente // Bull. Acad. Polon. sci. Ser. sci. Matematică. Astron. Fiz. : revista. - 1977. - T. 25 , nr 10 . — S. 933–934 .
Moore Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90670-3 .
Boolos George S., Jeffrey Richard C. Computability and Logic. — al 3-lea. - Cambridge University Press, 1989. - ISBN 0-521-38026-X .