Categoria Baer

Categoria Baer este o modalitate de a distinge între seturile „mari” și „mici”. Un subset al unui spațiu topologic poate fi din prima sau a doua categorie Baire.

Numit după matematicianul francez René-Louis Baer .

Definiții

Spațiile topologice care admit o acoperire numărabilă de submulțimi nicăieri dense aparțin spațiilor din prima categorie Baer , cele care nu permit o astfel de acoperire aparțin spațiilor din a doua categorie Baer.
Un subset al unui spațiu topologic care poate fi reprezentat ca o uniune numărabilă de mulțimi care nu sunt nicăieri dense se numește o mulțime din prima categorie Baire din spațiu . $X$ $X$ $X$
O mulțime care nu poate fi reprezentată în această formă se numește mulțime din a doua categorie Baer în spațiu . $X$
Un spațiu topologic în care orice mulțime din prima categorie nu conține puncte interioare se numește spațiu Baer .

Proprietăți

În scopul analizei, este convenabil când spațiul în cauză aparține celei de-a doua categorii Baer, deoarece atribuirea acestei categorii echivalează cu validitatea teoremelor de existență , cum ar fi:

Dacă un spațiu din a doua categorie Baer este acoperit de o familie numărabilă de mulțimi închise, atunci cel puțin una dintre ele are un punct interior ( teorema existenței unui punct interior ).
Într-un spațiu din a doua categorie Baer, fiecare familie numărabilă de mulțimi dense deschise peste tot are o intersecție nevide ( teorema existenței pentru un punct comun ).

Dacă, totuși, spațiul aparține primei categorii Baer, numai rezultate negative pot fi obținute din aceasta - de exemplu, orice metrică din acest spațiu care este compatibilă cu topologia este incompletă și închiderea oricărei deschideri (nevide) subsetul este necompact . Din acest motiv, de exemplu, spațiul polinoamelor este incomplet în orice metrică în care este un spațiu vectorial topologic (un spațiu vectorial numărabil -dimensional în orice topologie vectorială aparține primei categorii Baer).

Aplicarea categoriilor Baire la submulțimi ale unui spațiu topologic dat are sens dacă spațiul ambiental aparține celei de-a doua categorii Baire (altfel toate submulțimile vor fi prima categorie din spațiul dat). Aproximativ, seturile din prima categorie sunt considerate „mice” („slab”), iar a doua - „mari” („gras”).

În acest sens, noțiunea de categorie seamănă cu noțiunea de măsură , dar spre deosebire de măsură, categoria unei submulțimi depinde doar de topologia spațiului înglobat.

Acest lucru face convenabil să îl utilizați în spații fără o măsură definită în mod natural. De exemplu, folosind categoria, se poate da un sens precis unor concepte precum „aproape toate submulțimile compacte convexe ale spațiului euclidian ”.

Teorema lui Baer

Teorema. Spațiile metrice complete și spațiile Hausdorff compacte la nivel local aparțin celei de-a doua categorii a lui Baire.

Pentru a dovedi, este suficient să arătăm că fiecare familie numărabilă de mulțimi dense deschise peste tot are o intersecție nevidă. $G_{k}\;(k=1,\;2,\;\ldots )$

În cazul unui spațiu metric complet, o succesiune de bile este construită inductiv astfel încât pentru fiecare și raza bilei să fie mai mică decât . Secvența de contractare a bilelor închise are o intersecție nevidă datorită completității spațiului, iar punctul comun al acestor bile va fi comun pentru seturile . $B_{k}$ $k$ ${\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}$ $B_{k}$ $2^{-k}$ $G_{k}$

În cazul unui spațiu Hausdorff compact local, construim inductiv o succesiune de mulțimi deschise astfel încât pentru fiecare și închiderea mulțimii să fie compactă. Apoi șirul de mulțimi formează un sistem centrat de submulțimi închise într-un spațiu Hausdorff compact și, prin urmare, are o intersecție nevidă. $B_{k}$ $k$ ${\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}$ $B_{k}$ ${\bar {B}}_{k}$ ${\bar {B}}_{1}$

Exemplu. Ca o aplicare a categoriilor lui Baer, se poate arăta că mulțimea punctelor iraționale nu poate fi mulțimea tuturor punctelor de discontinuitate ale vreunei funcții de pe dreapta reală. Mulțimea tuturor punctelor de discontinuitate ale oricărei funcții pe este o uniune numărabilă de mulțimi închise constând din acele puncte la care oscilația funcției nu este mai mică de . Dacă ar exista funcția dorită, mulțimile nu ar fi nicăieri dense, deoarece uniunea lor nu are puncte interioare. Aceasta ar presupune că mulțimea primei categorii este în , și întrucât complementul său are și prima categorie, atunci întregul spațiu ar fi din prima categorie, ceea ce contrazice caracterul său complet. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $f$ $\mathbb {R}$ $E_{n}$ $f$ $1/n$ $E_{n}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Vezi și

Set G-delta

Link -uri

Oktoby J. Măsură și categorie. - Transl. din engleza. — M.: Mir, 1974. — 157 p.