Axiome de separabilitate

Axiomele de separabilitate sunt seturi de cerințe suplimentare impuse spațiilor topologice , permițând studiul unor clase limitate de spații topologice cu proprietăți mai mult sau mai puțin apropiate de spațiile metrice . Aplicarea unei astfel de tehnici de demonstrare matematică ca principiul separabilității se bazează pe presupunerea îndeplinirii axiomelor separabilității .

Se introduce un set de axiome de separabilitate, cele mai utilizate sunt șase, notate respectiv prin T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 3½ , T 4 (din germană Trennungsaxiom ); în plus, se folosesc uneori şi alte axiome şi variaţiile acestora (R 0 , R 1 , T 2½ , T 5 , T 6 şi altele).

T 0 ( axioma lui Kolmogorov ): pentru oricare două puncte distincte și cel puțin un punct trebuie să aibă o vecinătate care să nu conțină al doilea punct. $X$ $y$

T 1 ( axioma lui Tihonov ): pentru oricare două puncte diferite și trebuie să existe o vecinătate a punctului care nu conține punctul și o vecinătate a punctului care nu conține punctul . Condiție echivalentă: toate seturile cu un punct sunt închise. $X$ $y$ $X$ $y$ $y$ $X$

T 2 ( axioma lui Hausdorff , spațiul Hausdorff ): pentru oricare două puncte distincte și trebuie să existe vecinătăți care nu se intersectează și . $X$ $y$ $U(x)$ $V(y)$

T 3 : Pentru orice mulțime închisă și un punct care nu este conținut în ea, există vecinătățile care nu se intersectează [1] [2] . Condiție echivalentă: pentru orice punct și vecinătatea lui există o vecinătate astfel încât . Uneori definiția axiomei separabilității T 3 include cerințele axiomei separabilității T 1 . [3] [4] De asemenea, uneori, cerința axiomei T 1 [2] [4] nu este inclusă în definiția unui spațiu regulat . Un spațiu regulat este un spațiu care satisface axiomele T 1 și T 3 . $X$ $U$ $V$ $x\în V\subset\bar{V}\subset U$

T 3½ : pentru orice mulțime închisă și un punct neconținut în ea, există o funcție numerică continuă (în topologia dată) dată pe acest spațiu, luând valori de la până la pe întreg spațiul, și pentru tot , aparținând lui . Spațiile care satisfac axiomele T 1 și T 31 se numesc spații complet regulate sau spații Tihonov; mai mult decât atât, uneori îndeplinirea lui T 1 este inclusă în definiția lui T 31 [5] , dar în definiția unui spațiu complet regulat nu include cerința axiomei T 1 (atunci este inclusă în definiția unui Spațiul Tihonov [2] . $F$ $A$ $f(x)$ $0$ $unu$ $f(a)=0$ $f(x)=1$ $X$ $F$

T 4 : pentru oricare două mulţimi disjunse închise există vecinătăţile lor disjunse [1] [2] . O condiție echivalentă: pentru orice mulțime închisă și vecinătatea sa , există o vecinătate astfel încât ( este o închidere a ). Spațiu normal — spații care satisfac T 1 și T 4 [2] [6] . Uneori definiția lui T 4 include cerința ca T 1 [7] [8] să fie satisfăcută , dar definiția unui spațiu normal nu include cerința T 1 [8] . $F$ $U$ $V$ $F\subset V\subset\bar{V}\subset U$ ${\bar {V}}$ $V$

Câteva relații ale axiomelor de separabilitate și ale claselor înrudite între ele:

$T_{0}$ , și nu urmează din restul axiomelor (dacă definiția lor nu include axioma ); $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$
din urmează ; $T_{1}$ $T_{0}$
spațiile obișnuite sunt Hausdorff;
spațiile complet regulate sunt regulate;
spațiile normale sunt, de asemenea, complet regulate;
spațiile compacte Hausdorff sunt normale.

Note

↑ 1 2 Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, p.105
↑ 1 2 3 4 5 enciclopedie matematică
↑ Engelking, p.71
↑ 1 2 Kelly, p.154
↑ Engelking, p.73
↑ Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, p.106
↑ Engelking, p.74
↑ 1 2 Kelly, p.153

Literatură

O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, V. M. Kharlamov și N. Yu. Netsvetaev Manual de probleme de topologie
Engelking R. Topologie generală: Per. din engleza. — M .: Mir, 1986. — 752 p.
Kelly, J. L. Topologie generală. — M.: Nauka, 1968.
I. M. Vinogradov. Axioma separabilității // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă) - articol din enciclopedia matematică, autor - V. I. Zaitsev