Dovada matematica

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 31 august 2022; verificările necesită 4 modificări .

Dovada matematica
Studiat în	teoria dovezilor
Scopul proiectului sau misiunii	teorema

Fișiere media la Wikimedia Commons

Dovada matematică - raționament pentru a justifica adevărul unui enunț ( teoremă ) [2] , un lanț de concluzii logice care arată că, sub rezerva adevărului unui anumit set de axiome și reguli de inferență , enunțul este adevărat. În funcție de context, aceasta poate însemna o dovadă în cadrul unui anumit sistem formal (o succesiune de enunțuri construite după reguli speciale, scrise într-un limbaj formal ) sau un text în limbaj natural , din care, dacă este necesar, se poate restabili o dovadă formală. . Necesitatea unei demonstrații formale a afirmațiilor este una dintre principalele trăsături caracteristice ale matematicii ca ramură deductivă a cunoașterii, respectiv, conceptul de demonstrație joacă un rol central în materia matematică , iar disponibilitatea demonstrațiilor și a acestora. corectitudinea determină starea oricăror rezultate matematice .

De-a lungul istoriei matematicii , ideea metodelor și metodelor acceptabile de demonstrare s-a schimbat semnificativ, în principal în direcția unei mai mari formalizări și a unor restricții mai mari. O piatră de hotar cheie în problema formalizării demonstrației a fost crearea logicii matematice în secolul al XIX-lea și formalizarea acesteia prin intermediul tehnicilor de demonstrare de bază. În secolul al XX-lea, a fost construită teoria demonstrației - o teorie care studiază demonstrația ca obiect matematic . Odată cu apariția computerelor în a doua jumătate a secolului al XX-lea, utilizarea metodelor de demonstrare matematică pentru verificarea și sintetizarea programelor a devenit deosebit de importantă și chiar s-a stabilit o corespondență structurală între programele de calculator și demonstrațiile matematice ( corespondența Curry-Howard ), pe baza căruia mijloace de probă automată .

Principalele tehnici utilizate în construirea demonstrațiilor: demonstrația directă , inducția matematică și generalizările ei , demonstrarea prin contradicție , contrapoziția , construcția , enumerarea , stabilirea unei bijecții , număr dublu ; în aplicații , ca demonstrații matematice, se folosesc și metode care nu dau o demonstrație formală, dar asigură aplicabilitatea practică a rezultatului - probabilistic, statistic, aproximativ. În funcție de ramura matematicii, de formalismul folosit sau de școala de matematică, nu toate metodele pot fi acceptate necondiționat, în special, demonstrația constructivă implică limitări serioase.

Importanța demonstrației în matematică

Spre deosebire de alte științe, dovezile empirice sunt inacceptabile în matematică: toate afirmațiile sunt dovedite exclusiv prin mijloace logice. Intuiția matematică și analogiile între diferite obiecte și teoreme joacă un rol important în matematică; cu toate acestea, toate aceste mijloace sunt folosite de oamenii de știință doar atunci când caută dovezi, dovezile în sine nu se pot baza pe astfel de mijloace. Dovezile scrise în limbi naturale pot să nu fie foarte detaliate, cu așteptarea ca cititorul instruit să poată reconstrui detaliile singur. Rigoarea probei este garantată de faptul că aceasta poate fi reprezentată sub forma unei înregistrări într-un limbaj formal (așa se întâmplă când un computer verifică dovezile).

Stare de aprobare

Enunțurile dovedite în matematică se numesc teoreme (în textele matematice, de obicei se presupune că demonstrația a fost găsită de cineva; excepțiile de la acest obicei sunt în principal lucrări de logică, în care este explorat însuși conceptul de demonstrație); dacă nici afirmația, nici negația sa nu au fost încă dovedite, atunci o astfel de afirmație se numește ipoteză . Uneori, în procesul de demonstrare a unei teoreme, sunt evidențiate dovezi ale afirmațiilor mai puțin complicate, numite leme .

Unele enunțuri matematice sunt cunoscute în mod tradițional sub nume care nu corespund statutului lor real. Astfel, Ultima Teoremă a lui Fermat nu a fost niciodată numită ipoteza lui Fermat, chiar înainte de demonstrarea acesteia de către Andrew Wiles . Pe de altă parte, conjectura Poincare continuă să poarte acest nume chiar și după demonstrarea sa de G. Ya. Perelman .

O dovadă eronată este un text care conține erori logice, adică unul din care este imposibil să se restabilească o dovadă formală. În istoria matematicii, au existat cazuri în care oameni de știință proeminenți au publicat „dovezi” incorecte, dar, de obicei, colegii lor sau ei înșiși au găsit rapid erori (una dintre cele mai des dovedite incorect teoreme este Ultima Teoremă a lui Fermat . Încă există oameni care nu să știți că a fost dovedit și oferind noi „dovezi” false [3] [4] ). Nu poate fi decât eronat să recunoaștem drept dovadă „dovada” în limbaj natural sau formal; o dovadă formală nu poate fi greșită prin definiție.

Istorie

Antichitate

În țările din Orientul Antic ( Babilon , Egiptul Antic , China Antică ), rezolvarea problemelor matematice era dată, de regulă, fără justificare și era dogmatică , deși justificarea grafică a teoremei lui Pitagora poate fi găsită pe tăblițele cuneiforme babiloniene . [5] . Conceptul de probă nu a existat în Grecia antică în secolele VIII-VII î.Hr. e. Cu toate acestea, deja în secolul VI î.Hr. e. în Grecia, dovada logică devine principala metodă de stabilire a adevărului. În acest moment, au fost construite primele teorii matematice și modele matematice ale lumii, care aveau un aspect complet modern, adică au fost construite dintr-un număr finit de premise folosind concluzii logice.

Primele dovezi au folosit cele mai simple construcții logice. În special , Thales din Milet , care a demonstrat că diametrul împarte cercul în jumătate, unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale, două drepte care se intersectează formează unghiuri egale, se pare că a folosit metodele de îndoire și suprapunere a figurilor în demonstrațiile sale. Potrivit filozofului grec Proclus (secolul al V-lea d.Hr.) , „Uneori el a considerat problema oarecum general, uneori bazându-se pe claritate . ” Deja sub Pitagora , dovada trece de la idei concrete la concluzii pur logice [6] . În dovezile lui Parmenide se folosește legea mijlocului exclus , iar studentul său Zenon folosește reducerea la absurd în aporii [7] .

Se știe că dovada incomensurabilității laturii și diagonalei pătratului, care stă la baza conceptului de iraționalitate , aparține cel mai probabil pitagoreenilor , deși prima dată a fost dată doar în Elementele lui Euclid (X), vine din contra și se bazează pe teoria divizibilității numerelor cu doi [8] . Este posibil ca divergența de opinii asupra rolului demonstrației matematice să fi fost unul dintre motivele conflictului dintre Eudoxus (care este considerat fondatorul tradiției organizării matematicii sub formă de teoreme , dar care nu a recurs la demonstrații în principiul [9] ) și Platon [10] .

Un moment important pe drumul către viitoarea formalizare a demonstrațiilor matematice a fost crearea logicii lui Aristotel , în care a încercat să sistematizeze și să codifice toate regulile de raționament utilizate pentru demonstrații, a descris principalele dificultăți și ambiguități emergente. Aristotel a presupus că dovezile sunt o componentă importantă a științei, crezând că dovezile „dezvăluie esența lucrurilor” [11] . Dar logica aristotelică nu a avut un impact direct asupra matematicii grecești antice și nu a fost acordată nicio atenție problemelor logicii formale în demonstrații [12] .

Epoca medievală și modernă

Odată cu dezvoltarea matematicii în Evul Mediu și baza pe logica adoptată din scolastică , ideile despre dovezile formale se construiesc treptat și se dezvoltă metodele acesteia. Gersonidele includ justificarea și introducerea în practică a metodei inducției matematice [13] . Începând cu secolul al XVI-lea, au existat încercări separate de a înțelege critic dovezile matematicienilor greci antici, de exemplu, Peletier , comentând „Elementele” lui Euclid, critică demonstrarea egalității triunghiurilor prin deplasare [14] .

În vremurile moderne, datorită succesului aplicării matematicii în științele naturii, afirmațiile și dovezile matematice au fost considerate de încredere de îndată ce a fost dată o definiție precisă și formală a conceptelor inițiale, iar matematica în ansamblu a fost considerată un model de rigoare și dovezi pentru toate celelalte discipline. În special, Leibniz consideră axiomele și regulile de inferență de nezdruncinat și caută să construiască un sistem formal de logică pentru a „demonstra tot ce poate fi demonstrat” [15] . Cu toate acestea, chiar și în secolul al XVIII-lea, conceptul de probă era încă prea informal și speculativ, dovada în acest sens poate fi faptul că Euler a considerat următoarele afirmații ca fiind justificate simultan:

\sum _{{n=0}}^{\infty }{1-(n\operatorname {mod}2)\cdot 2}=0

și ,

\sum _{{n=1}}^{\infty }{1-(n\operatorname {mod}2)\cdot 2}=1

precum și:

\sum _{{n=0}}^{\infty }{2^{n}}=-1

înțelegând, desigur, lipsa de sens a acestor afirmații, dar ținând cont de paradoxurile lor de „dovedibilitate” [16] .

În secolul al XIX-lea, apar tot mai des idei despre necesitatea de a postula niște reguli intuitiv evidente care nu pot fi dovedite într-un mod formal. Un alt impuls pentru înțelegerea relativității demonstrațiilor în funcție de principiile postulate după multe secole de încercări nereușite de a demonstra axioma paralelismului lui Euclid a fost crearea lui Lobachevsky , Bolyai , Gauss și Riemann a geometriilor non-euclidiene [17] .

Formalizarea logicii și a programului Hilbert

Intuiționism

Teoreme de incompletitudine

Constructivism

Dovada formală

Când se vorbește despre dovezi formale, în primul rând, ei descriu un model formal - un set de axiome , scrise folosind un limbaj formal și reguli de inferență. O derivare formală este un set finit ordonat de linii scrise într-un limbaj formal, astfel încât fiecare dintre ele să fie fie o axiomă, fie obținută din liniile anterioare prin aplicarea uneia dintre regulile de inferență. O dovadă formală a unei afirmații este o derivare formală, a cărei ultimă linie este afirmația dată. O afirmație care are o demonstrație formală se numește teoremă , iar mulțimea tuturor teoremelor dintr-un model formal dat (considerată împreună cu alfabetul limbajului formal, seturile de axiome și regulile de inferență) se numește teorie formală .

O teorie se numește completă dacă pentru orice enunț ea sau negația ei este demonstrabilă și consecventă dacă nu există în ea enunțuri care să poată fi dovedite împreună cu negațiile lor (sau, în mod echivalent, dacă există cel puțin o afirmație nedemonstrabilă în ea). Majoritatea teoriilor matematice „suficient de bogate”, așa cum arată prima teoremă de incompletitudine a lui Gödel , sunt fie incomplete, fie inconsecvente. Cel mai comun set de axiome din timpul nostru este axioma Zermelo-Fraenkel cu axioma alegerii (deși unii matematicieni se opun folosirii acesteia din urmă). O teorie bazată pe acest sistem de axiome nu este completă (de exemplu, ipoteza continuumului nu poate fi nici dovedită, nici infirmată în ea - presupunând că această teorie este consecventă). În ciuda utilizării pe scară largă a acestei teorii în matematică, consistența ei nu poate fi dovedită prin propriile sale metode. Cu toate acestea, majoritatea covârșitoare a matematicienilor cred în consistența sa, crezând că altfel contradicțiile ar fi fost descoperite cu mult timp în urmă.

Teoria dovezilor

Demonstrațiile formale sunt gestionate de o ramură specială a teoriei dovezilor matematice . Demonstrațiile formale în sine nu sunt aproape niciodată folosite de matematică, deoarece sunt foarte complexe pentru percepția umană și ocupă adesea mult spațiu.

În informatică

În informatică , dovezile matematice sunt folosite pentru a verifica și analiza corectitudinea algoritmilor și a programelor (vezi logica în informatică ) în cadrul tehnologiilor de programare bazate pe dovezi.

Metode de probă formală

Dovada directă

Dovada directă implică utilizarea numai a inferenței deductive directe din enunțuri care sunt considerate adevărate (axiome, leme și teoreme demonstrate anterior), fără utilizarea judecăților cu negația oricăror enunțuri [18] . De exemplu, pentru demonstrarea directă, următoarele cifre sunt considerate acceptabile (în notație de deducție naturală :

{\frac {A,B}{A}}

, , ( modus ponens ).

{\frac {A\Rightarrow B,B\Rightarrow C}{A\Rightarrow C}}

{\frac {A,A\Rightarrow B}{B}}

Înlocuirea este, de asemenea, considerată o metodă de demonstrare directă: dacă afirmația este adevărată pentru orice valoare a variabilelor libere incluse în ea, atunci înlocuirea oricăror valori specifice în loc de un subset al acestora în toate aparițiile ( un caz special de formula ) dă afirmația corectă, în notația de derivație naturală (notație informală, simplificată la o singură variabilă): $A$

{\frac {\forall x\,A(x)}{A[x:=a]}}

În unele cazuri, dovezile indirecte care folosesc raționamentul negativ, în special pentru obiectele finite, pot fi ușor reduse la cele directe, fără pierderea generalității, dar acest lucru este departe de a fi întotdeauna cazul enunțurilor despre colecții infinite și odată cu creșterea valorii demonstrațiilor constructive în matematica secolului al XX-lea se consideră important să se găsească dovezi directe pentru afirmațiile care au fost considerate dovedite, dar prin metode indirecte.

În teoria demonstrației, a fost dezvoltată o definiție formală a dovezii directe [19] .

Inductie

Metoda inductivă , care permite trecerea de la declarații particulare la declarații universale, este cea mai interesantă atunci când este aplicată la colecții infinite de obiecte, dar formularea și aplicabilitatea sa diferă semnificativ în funcție de domeniul de aplicare.

Cea mai simplă metodă inductivă [20] este inducția matematică , o concluzie referitoare la seria naturală , ideea căreia este să se afirme o anumită lege pentru toate numerele naturale, pe baza faptelor implementării ei pentru unitate și a următorului adevăr pentru fiecare. numărul următor, în notarea unei concluzii naturale:

{\frac {P(1),\forall n\in {\mathbb N}(P(n)\Rightarrow P(n+1))}{\forall n\in {\mathbb N}(P(n) )}}

Metoda inducției matematice poate fi aplicată în mod natural oricăror colecții numărabile de obiecte; este considerată fiabilă și legitimă atât în sistemele clasice, cât și în sistemele de demonstrare intuiționiste și constructive. Metoda este axiomatizată în sistemul de axiome ale aritmeticii Peano .

O întrebare mai dificilă este dacă metoda inductivă poate fi extinsă la colecții nenumărate . În cadrul teoriei multimilor naive , a fost creată metoda inducției transfinite , care permite extinderea regulii de inferență inductivă pentru orice mulțimi bine ordonate, conform unei scheme similare inducției matematice. Se găsește posibilitatea utilizării raționamentului de tip inductiv pentru colecții nenumărate și în logica intuiționistă , cunoscută sub numele de bar-induction [21] .

Există o metodă constructivă de inducție structurală , care permite aplicarea inducției la colecții bine ordonate de obiecte, dar supuse definiției lor recursive .

Dimpotrivă

Demonstrarea prin contradicție folosește metoda logică de a aduce la absurd și este construită după următoarea schemă: pentru a demonstra afirmația , se presupune că este falsă, iar apoi, de-a lungul lanțului deductiv, se ajunge la un Afirmație deliberat falsă, de exemplu, din care, conform legii dublei negații , se face o concluzie despre adevăr , în notații de inferență naturale: $A$ $B\land \neg B$ $A$

{\frac {\neg A\Rightarrow (B\land \neg B)}{A)).

Ar fi mult mai bine să o scrieți așa. O schemă dovedită prin contradicție este o schemă:

{\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B }}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrice}}{\mathcal {A}}}}.

Formalizează metoda probei prin contradicţie.

În sistemele intuiționiste și constructive nu se folosește demonstrația prin contradicție, întrucât legea dublei negații nu este acceptată.

Observație . Această schemă este similară cu alta - cu schema de probă prin reducere la absurd . Drept urmare, sunt adesea confuzi. Cu toate acestea, în ciuda unor asemănări, ele au o formă diferită. Mai mult, ele diferă nu numai prin formă, ci și prin esență, iar această diferență este de natură fundamentală.

Contrapoziție

Dovada contrapozițională folosește legea contrapoziției și constă în următoarele: pentru a demonstra faptul căurmeazăse cere să se arate că o negațiedecurge dintr-o negație, în simbolismul unei concluzii naturale: $A$ $B$ $B$ $A$

{\frac {\neg B\Rightarrow \neg A}{A\Rightarrow B))

Dovada contrapozițională se reduce la metoda contradicției : pentru demonstrație , se verifică negația ei , iar din moment ce premisa este valabilă , se relevă o contradicție. $A\Rightarrow B$ $\neg (A\Rightarrow B)\equiv \ A\land \neg B$ $\neg B\Rightarrow \neg A\equiv \neg (A\land \neg B)$

Ca exemplu de demonstrație contrapozițională, [22] stabilește faptul că dacă este impar , atunci este și impar ( ), pentru aceasta se demonstrează contrapoziția, că dacă este par, atunci este și par. $n^{2}$ $n$ $n \in \mathbb N$ $n$ $n^{2}$

În sistemele care nu acceptă legea dublei negații, demonstrația contrapozițională nu se aplică.

Clădire

Pentru afirmații precum teoremele de existență , în care prezența unui obiect este formulată ca rezultat, de exemplu, existența unui număr care satisface anumite condiții, cel mai caracteristic tip de demonstrație este găsirea directă a obiectului dorit folosind metodele de sistemul formal corespunzător sau folosind contextul secțiunii corespunzătoare . Multe teoreme de existență clasice sunt dovedite prin contradicție: prin reducerea la absurd a presupunerii că un obiect cu proprietăți date nu există, dar astfel de demonstrații sunt considerate neconstructive și, în consecință, în matematica intuiționistă și constructivă, se folosesc doar dovezile prin construcție. pentru astfel de afirmatii.

A rămas fără opțiuni

În unele cazuri, pentru a demonstra afirmația, toate variantele posibile ale mulțimii în raport cu care este formulată aserția sunt sortate ( enumerare completă ) sau toate variantele posibile sunt împărțite într-un număr finit de clase reprezentând cazuri particulare și pentru fiecare dintre pe care proba se face separat [23] . De regulă, proba prin metoda epuizării opțiunilor constă în două etape:

stabilirea tuturor cazurilor speciale posibile și demonstrarea faptului că nu există alte cazuri speciale,
dovada fiecărui caz particular.

Numărul de opțiuni poate fi destul de mare, de exemplu, pentru a demonstra ipoteza celor patru culori , a fost nevoie de aproape 2.000 de opțiuni diferite pentru a fi rezolvate folosind un computer . Apariția unor astfel de dovezi la sfârșitul secolului al XX-lea în legătură cu dezvoltarea tehnologiei informatice a ridicat problema statutului lor în știința matematică din cauza posibilelor probleme de verificabilitate [24] .

Bijection

Dovada bijecției este folosită pentru a stabili afirmații despre dimensiunea sau structura unei colecții sau comparabilitatea unei colecții cu orice altă colecție și constă în construirea unei corespondențe unu-la-unu între mulțimea studiată și mulțimea cu proprietăți cunoscute. [25] . Cu alte cuvinte, dovada afirmațiilor despre o anumită colecție se reduce la proba prin construirea unei bijecții , eventual cu restricții suplimentare, cu colecția pentru care este cunoscută această afirmație. $A$ $B$

Cele mai simple exemple de demonstrații bijective sunt dovezi de enunțuri combinatorii despre numărul de combinații sau numărul de elemente ale mulțimilor, exemple mai complexe sunt stabilirea izomorfismelor , homeomorfismelor , difeomorfismelor , bimorfismelor , datorită cărora proprietățile unui obiect deja cunoscut care sunt invariante în raport cu unul sau tip special de bijecție. $A$ $B$

Double Count

Dovada geometrică

Metode aplicate

Metode aproximative

Metode probabilistice

Metode statistice

Terminologie

Simboluri

În mod tradițional, sfârșitul dovezii era notat prin abrevierea „ QED ”, din expresia latină lat. Quod Erat Demonstrandum („Ceea ce trebuia să fie dovedit”). În lucrările moderne, semnul □ sau ■, ‣, //, precum și abrevierea rusă h.t.d., sunt mai des folosite pentru a indica sfârșitul dovezii .

Note

↑ Bill Casselman. Una dintre cele mai vechi diagrame existente de la Euclid . Universitatea din Columbia Britanică. Consultat la 26 septembrie 2008. Arhivat din original pe 4 iunie 2012. (nedefinit)
↑ Dicţionar enciclopedic matematic . - M .: „ Bufnițe. enciclopedie ”, 1988. - S. 211 .
↑ Gastev Yu., Smolyansky M. Câteva cuvinte despre Ultima Teoremă a lui Fermat // Kvant . - 1972. - T. 8 . - S. 23-25 .
↑ Teorema lui Tsymbalov A. S. Fermat (link inaccesibil) . Raportul conferinței . Academia Umanitară Modernă. Preluat la 14 mai 2011. Arhivat din original la 30 martie 2009. (nedefinit) }
↑ Kranz, 2011 , Babilonienii aveau anumite diagrame care indică de ce teorema lui Pitagora este adevărată și s-au găsit tăblițe care validează acest fapt, p. 44.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 65-66.
↑ Bourbaki, 1963 , p. unsprezece.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 73.
↑ Krantz, 2011 , <…> Eudoxus care a început marea tradiție a organizării matematicii în teoreme <…> Ce a câștigat Eudoxus în rigoarea și precizia formulărilor sale matematice, a pierdut pentru că nu a dovedit nimic, p. 44-45.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 95.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 59-61.
^ Bourbaki, 1963 , Scrierile lui Aristotel și ale succesorilor săi nu par să fi avut un impact notabil asupra matematicii. Matematicienii greci au urmat în studiile lor calea propusă de pitagoreici și adepții lor în secolul al IV-lea î.Hr. (Theodore, Theaetetus, Eudoxus) și au avut puțin interes pentru logica formală atunci când și-au prezentat rezultatele, p. 12-14.
↑ Rabinovich, NL Rabin Levi ben Gershom și originile inducției matematice // Arhiva pentru Istoria Științelor Exacte. - 1970. - Emisiune. 6 . - S. 237-248 .
↑ Bourbaki, 1963 , p. 27.
↑ Bourbaki, 1963 , p. 22.
↑ Kranz, 2011 , 3.1. Euler și profunditatea intuiției, p. 74-75.
↑ Bourbaki, 1963 , p. 25-26.
↑ Hammack, 2009 , capitolul 4. Dovada directă, p. 95-109.
↑ Handbook of Mathematical Logic, Volumul IV, 1983 , Capitolul 3. Teorema lui Stetman R. Herbrand și Noțiunea de demonstrație directă a lui Gentzen, p. 84-99.
↑ Hammack, 2009 , capitolul 10. Inducția matematică, p. 152-154.
↑ Dovada matematică - Enciclopedia de matematică articol . Dragalin A. G.
↑ Hammack, 2009 , Capitolul 7. Proving Non-Conditional Statements, p. 129-138.
↑ Lvovsky S. M., Toom A. L. Să analizăm toate opțiunile // Kvant . - 1988. - Nr. 1 . - S. 42-47 .
↑ Samokhin A. V. Problema celor patru culori: o istorie neterminată a dovezii // Soros Educational Journal . - 2000. - Nr. 7 . - S. 91-96 . (link indisponibil)
↑ Stanley R. Bijective proof problems ( 18 august 2009). Preluat la 12 mai 2013. Arhivat din original la 13 mai 2013.

Literatură

Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de Yushkevich A.P. , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Carte de referință despre logica matematică. IV. Teoria dovezilor și matematica constructivă = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 p.
Bourbaki N. Fundamentele matematicii. Logice. Teoria seturilor // Eseuri despre istoria matematicii / I. G. Bashmakova (tradus din franceză). - M . : Editura de literatură străină, 1963. - S. 37-53. — 292 p. — (Elemente de matematică).
Dovada / Yu. A. Gastev // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Căi și labirinturi. Eseuri de istoria matematicii = Routes et dédales / Tradus din franceză de A. A. Bryadinskaya, editat de I. G. Bashmakova. - M . : Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 p. — (Matematică modernă. Serii populare). — 50.000 de exemplare.
Vladimir Andreevici Uspenski . Cele mai simple exemple de dovezi matematice . - MTSNMO , 2011. - 56 p. - 2000 de exemplare. — ISBN 978-5-94057-879-6 .
Franklin J., Daoud A. Proof in the Mathematics. - Sydney : Quakers Hill Press, 2001. - 98 p. — ISBN 1876192003 .
Hammak R. Book of Proof (engleză) (2009). Preluat la 11 mai 2013. Arhivat din original la 13 mai 2013.
Krantz SG Dovada este în budincă. O privire asupra naturii în schimbare a demonstrației matematice. -N. Y.:Springer, 2011. - 281 p. —ISBN 978-0387489087.

Link -uri

Yu. L. Ershov „Dovada în matematică” , programul lui A. Gordon din 16 iunie 2003

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NKC : ph307639