Independența algebrică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 aprilie 2014; verificările necesită 3 modificări .

Independența algebrică este un concept al teoriei extensiilor de câmp .

Lasă o extensie a câmpului . Elementele sunt numite independente din punct de vedere algebric dacă, pentru un polinom arbitrar nu identic cu coeficienți din câmp $L$ $K$ $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $P(x_{1},\ldots,x_{n})$ $K$

P(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0

În caz contrar, elementele se numesc dependente algebric. O mulțime infinită de elemente este numită independentă din punct de vedere algebric dacă fiecare dintre submulțimile sale finite este independentă și este numită dependentă în caz contrar. Definiția independenței algebrice poate fi extinsă la cazul în care este un inel și este subinelul său . $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $L$ $K$

Independența algebrică a constantelor cunoscute

Fie constantele și să fie cunoscute a fi transcendentale, dar nu se știe dacă mulțimea lor este independentă algebric peste . [1] Nici măcar nu se știe dacă . [2] Nesterenko a demonstrat în 1996 că: $e$ $\pi$ $\mathbb {Q}$ $\pi +e$

numere , și sunt algebric independente peste ; [3] $\pi$ $e^{{\pi }}$ $\Gamma (1/4)$ $\mathbb {Q}$
numere și sunt algebric independente peste ; $e^{{\pi {\sqrt {3))))$ $\Gamma (1/3)$ $\mathbb {Q}$
pentru toate numerele întregi pozitive , numerele sunt independente din punct de vedere algebric peste ; [patru] $n$ $e^{{\pi {\sqrt {n))))$ $\mathbb {Q}$

Exemplu

O submulțime a câmpului de numere reale nu este independentă din punct de vedere algebric față de câmp, deoarece polinomul este netrivial cu coeficienți raționali și . $\{{\sqrt {\pi ));2\pi +1\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ $P({\sqrt {\pi )),2\pi +1)=0$

Vezi și

Teorema Lindemann-Weierstrass

Link -uri

Chen, Johnny. Independent algebric (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Note

↑ Patrick Morandi. Teoria câmpului și lui Galois . - Springer, 1996. - P. 174. - ISBN 978-0-387-94753-2 . Arhivat pe 8 octombrie 2021 la Wayback Machine
↑ Green, Ben (2008), III.41 Numere iraționale și transcendentale, în Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, p. 222
↑ Manin, Yu. I. Introducere în teoria numerelor moderne / Yu. I. Manin, A.A. Panchishkin. - Al doilea. - 2007. - Vol. 49. - P. 61. - ISBN 978-3-540-20364-3 .
↑ Nesterenko, Yuri V (1996). „Funcții modulare și probleme de transcendență”. Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 322 (10): 909-914.