Teorema Lindemann-Weierstrass

Teorema Lindemann–Weierstrass , care este o generalizare a teoremei Lindemann, demonstrează transcendența unei clase mari de numere. Teorema afirmă următoarele [1] :

Dacă sunt numere algebrice diferite care sunt independente liniar peste , atunci sunt independente din punct de vedere algebric peste , adică gradul de transcendență al extensiei este $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ $\mathbb {Q}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}(e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}})$ $n$

O altă formulare echivalentă este adesea folosită [2] :

Pentru orice numere algebrice distincte, numerele sunt liniar independente de câmpul numerelor algebrice . $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\overline {{\mathbb {Q}}}$

Istorie

În 1882 Lindemann a dovedit că este transcendentală pentru orice algebrică diferită de zero [3] , iar în 1885 Karl Weierstrass a demonstrat afirmația mai generală de mai sus. $e^{\alpha }$ $\alfa$

Transcendența numerelor e și π rezultă ușor din teorema Lindemann-Weierstrass .

Dovada transcendenței lui π

Aplicam metoda probei prin contradictie . Să presupunem că numărul este algebric. Atunci numărul , unde este unitatea imaginară , este și el algebric, prin urmare, conform teoremei Lindemann-Weierstrass, numărul este transcendental, dar după identitatea lui Euler, este egal cu numărul algebric , ceea ce provoacă o contradicție. Prin urmare, numărul este transcendental. $\pi$ $i\pi$ $i$ $e^{i\pi }$ $-unu$ $\pi$

Note

^ Weisstein , Eric W. Lindemann–Teorema Weierstrass (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
↑ Alan Baker. Teoria numerelor transcendentale. - Cambridge University Press, 1975. - ISBN 052139791X . . Capitolul 1, Teorema 1.4.
↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (germană) // Mathematische Annalen. — bd. 20 (1882) . - S. 213-225 .

Literatură

Leng S. Algebră. - Moscova: Mir, 1968. - 564 p.
Shidlovsky A. B. „Aproximații diofantine și numere transcendentale” (M. FIZMATLIT, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4