Padé aproximare

Aproximația Padé este o metodă clasică de aproximare rațională a funcțiilor analitice , numită după matematicianul francez Henri Padé . Metoda constă în reprezentarea funcției ca raport a două polinoame ai căror coeficienți sunt determinați de coeficienții de expansiune a funcției într- o serie Taylor . Pentru descompunere

f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots

folosind aproximarea Padé, se pot alege în mod optim coeficienții și și se obține aproximantul $a_{i}$ $b_{i}$

{\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^ {M}}}.

Utilizarea acestei idei simple și generalizările ei a condus la multe rezultate și a devenit aproape o metodă fundamentală de cercetare.

Istorie

Calitatea de autor a lui Padé se bazează pe disertația sa din 1892 [1] (o copie a disertației este păstrată la Biblioteca Universității Cornell ). În această lucrare, el a studiat astfel de aproximări și le-a aranjat într- un tabel , acordând în același timp o mare atenție funcției exponențiale .

Definiție

Să existe o expansiune a funcției într-o serie de puteri Taylor : $f(z)$

f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},

unde sunt coeficienții seriei. $c_{i}$

Aproximanta Padé este o funcție rațională a formei

[L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots + b_{M}z^{M}}},

a cărui expansiune într-o serie Taylor (centrată la zero) coincide cu extinderea funcției atâta timp cât este posibil. O funcție de acest fel are coeficienți la numărător și - la numitor. Întregul set de coeficienți este determinat până la un factor comun $f(z)$ $L+1$ $M+1$ .

Masa Pade

Generalizări

Multipoint Padé Aproximații
Aproximații Baker-Gammel
Aproximarea unei funcţii a mai multor variabile
Matrix Padé aproximanți
Aproximație Padé-Cebișev
Aproximație Padé-Fourier

Metode numerice de găsire

Note

↑ H. Padé. Sur la représentation approchée d'une function par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892.

Bibliografie

George A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Padé Aproximants = Padé aproximants / per. din engleza. E. A. Rakhmanova, S. P. Suetina; ed. A. A. Gonchar. — M .: Mir, 1986. — 502 p. - 6400 de exemplare.

Link -uri

Eric W. Weisstein. Padé Aproximant . lumea matematică. Preluat: 1 august 2009.
Bochkanov S., Bystritsky V. Padé Aproximare (link inaccesibil) . Biblioteca de algoritmi. Preluat la 1 august 2009. Arhivat din original la 15 decembrie 2005. (nedefinit)
Buslaev VI Relații recurente și aproximări raționale . Seminarul integral „Matematica și aplicațiile sale” al Institutului de Matematică. V. A. Steklov RAS (17 aprilie 2008). - Înregistrare video. Preluat: 1 august 2009. (nedefinit)
Kalyuzhny O., Kokovin V. Aplicarea aproximărilor Padé la vibrația turbojetului . Data accesului: 2012-17-12. (Rusă)