Polinom

Un polinom (sau un polinom din grecescul πολυ- „mulți” + nomen latin „nume”) de variabile este suma monomiilor sau, strict, o sumă formală finită de forma $n$ $x_{1},x_{2},...x_{n)$

P(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }\cdots x_{n}^{i_{n}}

, Unde

$I=(i_{1},i_{2},\dots, i_{n})$ - un set de numere întregi nenegative , numite multi-index , $n$
$c_{I}$ - un număr numit coeficientul polinomului , în funcție doar de multi-index . ${\mathit {I}}$

În special, un polinom dintr-o variabilă este o sumă formală finită a formei

P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m)

, Unde

$c_{i}$ — coeficienți fixi ,
$X$ - variabila .

Cu ajutorul unui polinom sunt introduse conceptele de „ ecuație algebrică ”, „ funcție algebrică ” și „ număr algebric ”.

Studiu și aplicare

Studiul ecuațiilor polinomiale și al soluțiilor lor pentru o lungă perioadă de timp a fost poate obiectul principal al „ algebrei clasice ”.

O serie de transformări în matematică sunt asociate cu studiul polinoamelor : introducerea numerelor zero , negative și apoi complexe , precum și apariția teoriei grupurilor ca ramură a matematicii și separarea claselor de funcții speciale în analiza matematică. .

Datorită faptului că calculele care implică polinoame sunt simple în comparație cu clase mai complexe de funcții și faptul că mulțimea de polinoame este densă în spațiul funcțiilor continue pe submulțimi compacte ale spațiului euclidian (vezi teorema de aproximare a lui Weierstrass ), metodele de expansiune în interpolare de serie și polinomie în calcul .

Polinoamele joacă, de asemenea, un rol cheie în geometria algebrică . Obiectul său cheie este mulțimile, definite ca soluții ale sistemelor de ecuații polinomiale .

Proprietățile speciale ale coeficienților de transformare în multiplicarea polinoamelor sunt utilizate în geometria algebrică , algebră , teoria nodurilor și în alte ramuri ale matematicii pentru a codifica sau exprima proprietăți ale diferitelor obiecte folosind polinoame.

Definiții înrudite

Un polinom de vedere se numește monom sau monom multi - index . $cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $I=(i_{1},\puncte,\,i_{n})$
Un monom care corespunde unui multi-index este numit membru liber . $I=(0,\puncte,\,0)$
Puterea deplină a unui monom (diferit de zero) se numește număr întreg . $c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $|I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$
Setul de multi-indici , pentru care coeficienții sunt nenuli, se numește purtătorul polinomului , iar corpul său convex se numește poliedrul lui Newton . ${\mathit {I}}$ $c_{I}$
Gradul unui polinom este maximul gradelor monomiilor sale. Gradul zeroului identic fie se presupune a fi nedefinit, fie este definit în continuare prin valoareasau(vezi gradul polinomului zero ). [unu] $-unu$ $-\infty$
Un polinom care este suma a două monomii se numește binom sau binom ,
Un polinom care este suma a trei monoame se numește trinom sau trinom .
Coeficienții unui polinom sunt de obicei luați dintr-un anumit inel comutativ (cel mai adesea un câmp , cum ar fi câmpul numerelor reale sau complexe ). În acest caz, în ceea ce privește operațiile de adunare și înmulțire, polinoamele formează un inel (mai mult, o algebră asociativ-comutativă peste un inel fără divizori zero ) care se notează cu . $R$ $R$ $R[x_1,x_2,\dots,x_n]$
Pentru un polinom dintr- o variabilă, soluția ecuației se numește rădăcină . $p(x)$ $p(x)=0$

Funcții polinomiale

Fie o algebră peste un inel Un polinom arbitrar definește o funcție polinomială $A$ $R.$ $p(x)\în R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$

p_{R}\colon A\to A.

Cazul cel mai des analizat $A=R.$

Dacă este un câmp de numere reale sau complexe (sau orice alt câmp cu un număr infinit de elemente ), funcția determină complet polinomul p . Totuși, acest lucru nu este adevărat în cazul general, de exemplu: polinoamele și din definesc funcții identice egale . $R$ $f_{p}\colon R^{n}\to R$ $p_{1}(x)\equiv x$ $p_{2}(x)\equiv x^{2}$ $\mathbb{Z } _{2}[x]$ $\mathbb{Z } _{2}\to \mathbb{Z } _{2}$

O funcție polinomială a unei variabile reale se numește funcție rațională întreagă .

Tipuri de polinoame

Un polinom dintr-o variabilă se numește unitar , normalizat sau redus dacă coeficientul său de conducere este egal cu unu.
Un polinom ale cărui monomii au toate același grad complet se numește omogen .
- De exemplu - un polinom omogen de două variabile, dar nu este omogen. $x^{2}+xy+y^{2}$ $x^{2}+y+1$
Un polinom care poate fi reprezentat ca produs de polinoame de grade inferioare cu coeficienți dintr-un câmp dat se numește reductibil (peste câmpul dat), în caz contrar se numește ireductibil .

Proprietăți

Un inel polinomial peste un domeniu de integritate arbitrar este el însuși un domeniu de integritate.
Un inel polinomial în orice număr finit de variabile peste orice inel factorial este el însuși factorial.
Inelul de polinoame dintr-o variabilă peste câmp este inelul idealurilor principale , adică oricare dintre idealurile sale poate fi generat de un element.
- Mai mult, un inel polinom într-o variabilă peste un câmp este un inel euclidian .
Teorema rădăcinii raționale .

Divizibilitate

Rolul polinoamelor ireductibile în inelul polinomial este similar cu rolul numerelor prime în inelul numerelor întregi . De exemplu, teorema este adevărată: dacă produsul polinoamelor este divizibil cu un polinom ireductibil , atunci p sau q este divizibil cu . Fiecare polinom de grad mai mare decât zero se descompune într-un câmp dat într-un produs de factori ireductibili într-un mod unic (până la factori de grad zero). $pq$ $\lambda$ $\lambda$

De exemplu, un polinom care este ireductibil în domeniul numerelor raționale poate fi factorizat în trei factori în domeniul numerelor reale și în patru factori în domeniul numerelor complexe. $x^{4}-2$

În general, fiecare polinom dintr-o variabilă se descompune în domeniul numerelor reale în factori de gradul I și II, în domeniul numerelor complexe - în factori de gradul I ( teorema fundamentală a algebrei ). $X$

Pentru două sau mai multe variabile, acest lucru nu mai poate fi afirmat. Peste orice câmp, pentru orice , există polinoame în variabile care sunt ireductibile în orice extensie a acestui câmp. Astfel de polinoame se numesc absolut ireductibile. $n>2$ $n$

Variații și generalizări

Dacă în definiție sunt permise și puteri negative, atunci obiectul rezultat se numește polinomul Laurent .
cvasi-polinom
Polinom trigonometric
Serie de puteri

Vezi și

Literatură

Vinberg E. B. Algebra polinoamelor. - M . : Educaţie, 1980. - 176 p.
Kurosh A. G. Curs de algebră superioară, ed. a 9-a. - M. , 1968.
Mishina A. P., Proskuryakov I. V. Algebră superioară, ed. a II-a. - M. , 1965.
Solodovnikov A.S., Rodina M.A. Caiet de practică algebră. - M . : Educaţie, 1985. - 127 p.
Prasolov VV Polinoame . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .
Faddeev DK, Sominsky IS Culegere de probleme în algebra superioară. - M. , 1977.

Note

↑ Eric W. Weisstein. Polinom zero . mathworld.wolfram.com . Preluat la 28 mai 2021. Arhivat din original la 1 mai 2021.

Link -uri

Polinom / A. I. Markushevich // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Rusă mare Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	BNF : 119786822 J9U : 987007563144505171 LCCN : sh85104702 NDL : 00572625 NKC : ph135425