Metoda variațională

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 28 februarie 2018; verificarea necesită 1 editare .

O metodă variațională este o metodă de rezolvare a problemelor matematice prin minimizarea unui anumit funcțional folosind o funcție de probă care depinde de un număr mic de parametri.

Mecanica cuantică

Starea unui sistem mecanic cuantic este determinată de funcția de undă, care se găsește din ecuația staționară Schrödinger

\hat{H}\psi = E\psi

unde este Hamiltonianul sistemului. $\hat{H}$

În cazul general al unui număr mare de particule (trei particule sunt deja multe în mecanica cuantică), este imposibil să rezolvi ecuația Schrödinger analitic fără a utiliza aproximări suplimentare.

Funcţional

\langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle = \int \psi^* \hat{H} \psi d\tau

unde integrarea se realizează pe întreg spațiul de coordonate și ψ este o funcție arbitrară a tuturor variabilelor sistemului, are o valoare minimă la o anumită funcție , care corespunde stării fundamentale a sistemului și este o soluție a ecuației Schrödinger . $\psi_0$

Metoda variațională este de utilizat pentru rezolvarea unor funcții de probă a variabilelor de sistem , în funcție de mai mulți parametri , care ar satisface condiția de normalizare. $\phi (\lambda _{i})$ $\lambda _{i}$

\langle \phi|\phi \rangle = 1

În acest caz

\Phi(\lambda_i, E) = \int \phi^*(\lambda_i) \hat{H} \phi(\lambda_i) d\tau - E \int \phi^*(\lambda_i) \phi(\lambda_i )d\tau

este o funcție (nu mai este funcțională) a parametrilor și a parametrului suplimentar E. Minimul acestui funcțional peste toți parametrii determină aproximarea la energia stării fundamentale a sistemului. Acest minim se găsește din sistemul de ecuații $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$

\frac{\partial \Phi(\lambda_i, E)}{\partial \lambda_j} = 0

dată fiind condiția de normalizare sau prin orice altă metodă de minimizare.

Metoda variațională oferă cea mai bună aproximare a energiei stării fundamentale pentru o formă dată de funcție de testare. Cu o funcție de încercare bine aleasă, această aproximare poate fi destul de precisă, diferind ușor de ceea ce se observă în experiment. O funcție de încercare bine aleasă face, de asemenea, posibilă tragerea de concluzii calitative despre comportamentul unui sistem mecanic cuantic.

Alegerea funcției de încercare este o anumită artă, care nu este accesibilă simplilor muritori. De obicei, acest lucru se bazează pe anumite idei fizice despre comportamentul sistemului. Creșterea numărului de parametri în funcția de testare îmbunătățește rezultatul, dar complică sarcina și, uneori, poate duce la găsirea unui minim local fals.