Hamiltonian (mecanica cuantică)

Hamiltonianul ( sau H ) în teoria cuantică este operatorul energiei totale a unui sistem (cf. funcția Hamilton ). Numele „Hamiltonian”, ca și numele „funcția Hamilton”, provine de la numele de familie al matematicianului irlandez William Rowan Hamilton . $\hat H$

Spectrul său este setul de valori posibile atunci când se măsoară energia totală a sistemului. Spectrul hamiltonianului poate fi discret sau continuu. Poate exista și o situație (de exemplu, pentru potențialul Coulomb) când spectrul constă dintr-o parte discretă și una continuă.

Deoarece energia este o cantitate reală , Hamiltonianul este un operator auto-adjunct .

Ecuația lui Schrödinger

Hamiltonianul generează evoluția temporală a stărilor cuantice . Dacă este starea sistemului la momentul t , atunci $\left|\psi (t)\right\rangle$

H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .

Această ecuație se numește ecuația Schrödinger (arata la fel cu ecuația Hamilton-Jacobi în mecanica clasică). Cunoscând starea la momentul inițial ( t = 0), putem rezolva ecuația Schrödinger și obținem vectorul de stare în orice moment ulterior. În special, dacă H nu depinde de timp, atunci

\left|\psi (t)\right\rangle =e^{{-iHt/\hbar }}\left|\psi (0)\right\rangle .

Operatorul exponențial din partea dreaptă a ecuației Schrödinger este definit printr-o serie de puteri în H.

Prin proprietatea *-homomorfism , operatorul

U=e^{{-iHt/\hbar }}

unitar . Acesta este operatorul de evoluție în timp sau propagatorul unui sistem cuantic închis.

Dacă Hamiltonianul nu depinde de timp, {U(t)} formează un grup cu un singur parametru; de unde urmează principiul echilibrului detaliat .

Expresii pentru hamiltonian în reprezentarea în coordonate

Particule libere

Dacă particula nu are energie potențială, atunci Hamiltonianul este cel mai simplu. Pentru o dimensiune:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}

si pentru trei dimensiuni:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

gaură potențială

Pentru o particulă cu un potențial constant V = V 0 (fără dependență de coordonate și timp) într-o dimensiune, Hamiltonianul este:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}

În trei dimensiuni:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}

Oscilator armonic simplu

Pentru un oscilator armonic simplu într-o dimensiune, potențialul depinde de coordonată (dar nu de timp) ca

V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},

unde frecvența unghiulară este coeficientul de elasticitate k și masa m a oscilatorului satisfac relația $\omega$

\omega ^{2}={\frac {k}{m}},

deci Hamiltonianul are forma

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}.

Pentru trei dimensiuni, Hamiltonianul ia forma

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{ 2},

unde este un vector de rază tridimensional r , modulul său este definit după cum urmează:

r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2 }

Hamiltonianul total este suma hamiltonienilor unidimensionali:

{\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right )+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{ 2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2 }}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aliniat}}

În teoria câmpului cuantic

În teoria clasică a câmpului, rolul coordonatelor generalizate este jucat de funcțiile câmpului în fiecare punct al spațiu-timp , în teoria cuantică a câmpului ele devin operatori. Pentru un sistem de câmpuri care interacționează, Hamiltonianul este suma operatorilor energetici ai câmpurilor libere și energia interacțiunii lor. Spre deosebire de Lagrangian , Hamiltonianul nu oferă o descriere explicit relativistic invariantă a sistemului - energia în diferite cadre de referință inerțiale este diferită, deși această invarianță poate fi dovedită pentru sistemele relativiste.

Link -uri

Blokhintsev D. I. Fundamentele mecanicii cuantice. a 5-a ed. Nauka, 1976. - 664 p.
Boum A. Mecanica cuantică: fundamente și aplicații. M.: Mir, 1990. - 720 p.
Dirac P. Principiile mecanicii cuantice. a 2-a ed. M.: Nauka, 1979. - 480 p.
Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). - Fizmatlit, 2008. - 800 p. - („Fizica teoretică”, Volumul III). - 3000 de exemplare. - ISBN 978-5-9221-0530-9 .

Derivate ale literei latine H, h
Scrisori	Ĥĥ H̭h̭ Ħħ Ƕƕ Ȟȟ Ḣḣ Ḥḥ Ḧḧ Ḩḩ Ḫḫ H̱ẖ Ⱨⱨ Ɥɥ ɥ̊ Ɦɦ ɧ Ꜧꜧ ʜ ʮ ʯ Ⱶⱶ Ꟶꟶ ꞕ Hh H̄h̄ H̓h̓ H̔h̔ ᵺ H̐h̐ H̤h̤ H̦h̦
Simboluri	ℍ ℋ ℌ ℎ ℏ Ⓗⓗ ⒣