Radicali imbricați

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 11 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

În algebră, un radical imbricat este un radical conținut într-un alt radical. De exemplu

\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },

sau un exemplu mai complex

{\sqrt[ {3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[ {3}]{4}}\ }}.

Valorile tuturor radicalilor imbricați se numesc expresibile prin radical .

Simplificarea radicalilor imbricați

Unii radicali imbricați pot fi simplificați. De exemplu:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,

{\sqrt[ {3}]{{\sqrt[ {3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[ {3}]{2}}+{\sqrt[ { 3}]{4))}{{\sqrt[ {3}]{9))))\,.

În general, simplificarea este o problemă dificilă, dacă este posibil. Următoarea formulă permite o simplificare atunci când este rațională: $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c))$

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}))={\sqrt {\frac {a+R}{2)}}\pm {\sqrt {\frac {aR}{2 }}}.

De exemplu,

{\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2)}})}={\sqrt {\frac {a+b}{2)}}\pm {\ sqrt {\frac {ab}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).

În special, pentru numere complexe ( ): $c=-1$

{\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {{\frac {\left|z\right|+a}{2))))+i\operatorname{sgn}(b){ \sqrt {{\frac {\left|z\right|-a}{2))))\dreapta),

Unde

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Radicali infinit imbricați

Dispoziții generale

În unele cazuri, radicalii imbricați la infinit pot fi identici cu un număr rațional, de exemplu, expresia

x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots )))))))))

este egal cu 2. Pentru a vedea asta, să pătram ambele laturi ale expresiei și să scădem 2:

x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))=x

;

x^{2}-x-2=0

;

x_{1}=2,x_{2}=-1

Evident, nu poate fi valoarea radicalului original. $-unu$

Cazuri banale

Pentru rădăcina pătrată: ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots ))))))))))))={\frac {b+ {\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$ ;
Pentru rădăcina gradului $n$ ${\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\ sqrt[ {n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$ unde este soluția ecuației . $X$ $x^{n}-bx-a=0$

Cazuri non-triviale

Formula Ramanujan : $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\ sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots ))))))))))$

Cazuri speciale

Raportul de aur : $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots )))))))))$
număr de plastic : $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$
numărul pi : ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac { 1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}\cdots$

Link -uri

Weisstein, Eric W. Radicali imbricați la Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Square Root la Wolfram MathWorld .
Scăderea adâncimii de cuibărire a expresiilor care implică rădăcini pătrate
Simplificarea rădăcinilor pătrate ale rădăcinilor pătrate