Expresibilitatea în radicali

Expresibilitatea în radicali înseamnă capacitatea de a exprima un număr sau o funcție în termenii celor mai simple numere sau funcții prin extragerea rădăcinii unui grad întreg și operații aritmetice - adunare , scădere , înmulțire , împărțire .

Pentru numere

Definiții primare

Definiție standard

Un element de câmp se spune a fi radical exprimabil peste un subcâmp de câmp dacă există o expresie algebrică care conține ca numere doar elementele câmpului a căror valoare este egală cu . Dacă rădăcina din câmp este o funcție cu mai multe valori , se consideră suficient ca numărul să fie egal cu cel puțin una dintre valorile posibile ale expresiei algebrice . $A$ $F$ $G$ $F$ $G$ $A$ $F$ $A$

Cu alte cuvinte, setul de numere exprimabile în radicali este format din setul de valori ale tuturor expresiilor raționale , sume parțiale ale radicalilor din valorile expresiilor raționale și sume parțiale ale radicalilor imbricați din valorile raționale. expresii.

Definiție fără referire la limbajul formal al matematicii

Fie un subcâmp al câmpului . Luați în considerare un lanț finit de câmpuri imbricate astfel încât și [nb 1] pentru orice de la până la , unde este un număr din câmp astfel încât pentru un număr natural aparține lui . Se spune că un număr este expresibil în mod radical peste un subcâmp al câmpului dacă, pentru unii , există colecții și pentru el astfel încât [1] . $G$ $F$ $G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s)$ $G_{0}=G$ $G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})$ $i$ $unu$ $s$ $\alpha_i$ $F$ $n_{i}$ $\alpha _{i}^{n_{i)}$ $G_{i-1}$ $a\in F$ $G$ $F$ $s$ $\alpha_i$ $n_{i}$ $a\in G_{s}$

Alte definiții

Se spune că un număr real este exprimabil în radicali reali dacă este exprimabil în radicali peste un subcâmp de numere raționale din câmpul numerelor reale . În acest caz, rădăcinile unui grad par în expresia algebrică care ia o valoare pot fi luate numai din numere nenegative , adică valoarea oricărei subexpresii a expresiei luate în considerare trebuie să aibă o parte imaginară zero. . $X$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $X$
Un număr complex (care poate fi și real ) se spune a fi exprimabil în radicali complecși dacă este exprimabil în radicali peste subcâmpul numerelor raționale din câmpul numerelor complexe . Un număr exprimabil în radicali reali este întotdeauna exprimabil în radicali complecși. Apariția primară a numerelor complexe într- o expresie algebrică care ia valoarea poate apărea numai datorită extragerii unei rădăcini de grad par din numerele negative . Pentru a simplifica tratarea ambiguității rădăcinilor-le-a în numerele complexe, sunt utilizate diverse metode pentru a indica care dintre rădăcini este necesară pentru a obține un anumit număr: de exemplu, rădăcinile complexe ale unității , care sunt constante importante, sunt numerotate explicit în ordinea inversă acelor de ceasornic. pe planul complex standard , pornind de la unitatea în sine. $z$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $z$ $n$
Se spune că un element al unui câmp este exprimabil în radicali de grade peste un subcâmp al câmpului dacă o expresie algebrică cu numere din , a căror valoare este egală cu , ale rădăcinilor posibile conține doar rădăcini de grad . În special, când un număr este numit exprimabil în radicali pătrați și atunci când este exprimat în radicali cubi . Combinațiile sunt, de asemenea, posibile: de exemplu, numerele și sunt exprimabile în radicali pătrați și cubi în câmpul numerelor raționale . Definiția, care nu depășește domeniul de aplicare al limbajului formal standard , are următoarea formă: un element de câmp se spune a fi exprimabil în radicali de grade peste un subcâmp de câmp dacă este exprimabil în radicali peste un câmp și toate implicate în definiția expresibilității radicale pentru date de mai sus sunt egale [1] . $A$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $A$ $n$ $n=2$ $A$ $n=3$ ${\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2))))$ ${\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}$ $\mathbb {Q}$ $A$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $n_{i}$ $A$ $n$
Un număr exprimabil în radicali pătrați reali se numește constructibil real [2] .
Să fie un câmp . Atunci câmpul [nb 2] , unde și , se numește extensie radicală a câmpului [3] . Astfel, în lanțul de câmpuri construit mai sus, fiecare următor este o extensie radicală a celui precedent. În acest caz, câmpul specificat se numește extensie pătratică a câmpului , adică numărul exprimat în radicali pătrați aparține câmpului următor din lanțul de extensii pătratice a subcâmpului inițial [4] . $K$ $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $a\în K$ ${\sqrt[{n}]{a}}\notin K$ $K$ $G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s)$ $n=2$ $K$
Un număr exprimabil în radicali se numește exprimabil în radicali $n$ , dacă dintre toate expresiile algebrice egale cu acesta, numărul minim de rădăcini din ele este [5] . $n$

Exemple

Numărul este exprimabil în radicali pătrați reali , adică este constructibil real . În același timp, este exprimabil în radicali reali de orice grad de forma , unde este un număr natural, deoarece . ${\sqrt {3+{\sqrt {8}}))$ $2^{n}$ $n$ ${\sqrt {3+{\sqrt {8}}})={\sqrt[{2^{n)}]({\Big (}3+{\sqrt[{2^{n)} ]{8^{2^{n-1)))){\Big )}^{2^{n-1))))$
Numărul , de asemenea , la prima vedere pare a fi exprimabil numai în radicali de orice grad al formei , dar de fapt este exprimabil în radicali de orice grad şi de orice fel , deoarece pentru orice . ${\sqrt {6+{\sqrt {32}}))+{\sqrt {6-{\sqrt {32}}))$ $2^{n}$ ${\sqrt {6+{\sqrt {32}}})+{\sqrt {6-{\sqrt {32}}})=4={\sqrt[{n}] {4^{n }}}$ $n$
Nu este întotdeauna posibil să se determine imediat un astfel de minim încât numărul luat în considerare să fie exprimabil în termeni de radicali , deoarece numărul care poate fi exprimat în termeni de doi radicali pătrați este de fapt egal și este exprimabil în termeni de un radical pătrat . $n$ $n$ ${\sqrt {17+{\sqrt {288}}))$ ${\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3 +{\sqrt {8}}$
Pentru mai multe exemple similare, consultați articolul radicali imbricați .
Numărul este exprimabil în radicali peste subcâmpul câmpului , deoarece singura rădăcină de grad par din această expresie algebrică este extrasă dintr-un număr nenegativ , dar nu este exprimabilă în radicali reali , deoarece . Spre deosebire de paragrafele anterioare, în acest caz putem vorbi despre proprietatea negativă a numărului luat în considerare pe baza notației sale specifice, întrucât, presupunând că este exprimabil în radicali reali , am obține cu ușurință o expresie algebrică pentru , care nu nu există din cauza transcendenței acestor numere (vezi secțiunea Proprietăți generale ). ${\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}$ $\mathbb {Q} (\pi )$ $\mathbb {R}$ $\pi$ $\pi \notin \mathbb {Q}$ $\pi$

Explicații

Expresibilitatea în radicali în raport cu un număr real, fără alte calificări în literatură, înseamnă de obicei expresibilitate în radicali complecși .

Pentru funcții , polinoame și ecuații

Definiții primare

Definiție standard

O funcție care ia valori într- un câmp și depinde de un anumit număr de parametri se spune că este exprimabilă în radicali peste un subcâmp al câmpului dacă există o expresie algebrică care conține doar elementele câmpului și parametrii indicați ca numere, a căror valoare coincide cu valoarea oricăror valori admisibile ale acestor parametri [6] . $f$ $F$ $G$ $F$ $G$ $f$

Definiție fără referire la limbajul formal al matematicii

Fie un subcâmp al câmpului . Luați în considerare un astfel de lanț finit de câmpuri imbricate , ale căror elemente sunt funcții de la (posibil, fără mai multe puncte pentru a evita împărțirea cu zero) în , care constă din toate funcțiile raționale peste , și [nb 3] pentru oricare de la până la , unde este o astfel de funcție continuă pe , încât pentru unii natural funcția aparține . Se spune că o funcție este exprimabilă în radicali peste un subcâmp al câmpului dacă, pentru unii , există astfel de colecții pentru ea și , că . $G$ $F$ $K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s)$ $F$ $F$ $K_{0}$ $G$ $K_{i}=K_{i-1}(f_{i})$ $i$ $unu$ $s$ $f_{i}$ $F$ $n_{i}$ $f_{i}^{n_{i)}$ $K_{i-1)$ $f\colon F\to F$ $G$ $F$ $s$ $f_{i}$ $n_{i}$ $f\in K_{s}$

Alte definiții

O funcție cu mai multe valori se numește radical exprimabilă într-un subcâmp dacă toate funcțiile cu o singură valoare extrase din aceasta sunt de asemenea exprimabile în radicali într-un subcâmp . $f$ $G$ $G$
Un polinom într-o variabilă, în funcție de un anumit număr de parametri (determinând unii dintre coeficienții săi), se numește solubil în radicali , dacă o funcție continuă și, eventual, multivalorică este exprimabilă în radicali , potrivindu-se setul de valori ale parametrilor \ u200b\u200bcu setul corespunzător de rădăcini polinomiale .
O ecuație algebrică se numește rezolvabilă în radicali dacă putem rezolva în radicali un polinom care este egal cu zero în această ecuație [4] [7] .
Funcțiile și polinoamele sunt supuse tuturor restricțiilor privind definiția expresibilității și , respectiv, rezoluției în radicali, indicate mai sus . De exemplu, o funcție definită ca pe întreaga linie reală este exprimabilă în radicali pătrați complexi . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x}))}$

Exemple

O funcție cu mai multe valori , este exprimabilă în radicali , deoarece toate cele șase funcții cu o singură valoare extrase din ea satisfac condiția , unde este o expresie algebrică care utilizează doar o variabilă care acționează ca argument al funcției și numere complexe. $f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ $g(x)$ $g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ ${\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$
Polinomul este rezolvabil în radicali pătrați complecși , deoarece pentru oricare rădăcinile sale sunt date de funcția . Cu toate acestea, acest polinom poate fi rezolvabil în radicali reali numai cu restricția că numărul aparține mulțimii numerelor nepozitive. $x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x$ $A$ $x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}$ $A$

Explicații

În cazul unei funcții complexe fără specificarea subcâmpului , se presupune de obicei că este egală cu același set de numere complexe . $G$ $\mathbb {C}$
Este important de remarcat faptul că expresibilitatea în radicalii unei funcții și expresibilitatea în radicalii imaginii fiecărui element atunci când este utilizat nu sunt echivalente: de exemplu, o funcție care satisface a doua condiție poate să nu fie continuă , în timp ce această cerință este obligatorie pentru cel care îndeplinește prima condiție. $\mathbb {R}$

Proprietăți generale

Seturile de numere exprimabile în radicali și funcțiile exprimabile în radicali sunt câmpuri care conțin câmpurile peste care sunt exprimabile în radicali ca subcâmpuri.
Orice număr complex exprimabil în radicali este algebric , dar nu orice număr algebric este exprimabil în radicali. Prima afirmație decurge din natura algebrică a numerelor raționale și din faptul că mulțimea numerelor algebrice este un câmp (la fiecare pas al trecerii de la la în definirea unui număr exprimabil în radicali, numerele algebrice generează numai numere algebrice ). A doua afirmație rezultă din următoarea teoremă privind existența unei ecuații de grad cu coeficienți întregi, cel puțin una dintre rădăcinile căreia este inexprimabilă în radicali. În mod similar, orice funcție exprimabilă în radicali este algebrică , în timp ce nu orice funcție algebrică este exprimabilă în radicali. Cu alte cuvinte, câmpul numerelor algebrice conține câmpul numerelor exprimabile în radicali, iar câmpul funcțiilor algebrice conține câmpul funcțiilor exprimabile în radicali, dar invers nu este adevărat. $G_{i-1}$ $G_{i}$ $5$
Orice funcție exprimabilă în radicali ia în sine seturile de numere exprimabile în radicali, numere algebrice și numere transcendentale din același câmp. Dacă argumentul unei funcții cu mai multe valori exprimabile în radicali constă în întregime din numerele uneia dintre aceste mulțimi, imaginea se încadrează și ea în el. Cu toate acestea, doar ultimele două seturi sunt întotdeauna în întregime imagini ale lor. Se poate obține un număr exprimabil în radicali, obținut prin aplicarea unei funcții exprimabile în radicali numai numerelor inexprimabile în radicali, astfel: se ia un polinom de grad cu coeficienți întregi, niciuna dintre rădăcinile cărora nu este exprimabilă în radicali și al cărui termen liber nu este egal cu zero (prin teorema Kronecker , descrisă mai jos, deoarece un astfel de polinom poate fi potrivit, de exemplu, [2] ). Atunci o funcție dată de un astfel de polinom fără termen liber capătă o valoare egală doar în rădăcinile acestui polinom, care sunt inexprimabile în radicali, în timp ce termenul liber în sine este un număr întreg și, evident, poate fi exprimat în orice radical. $5$ $x^{5}-4x+2$

Teoreme geometrice și trigonometrice

Teorema principală a teoriei construcțiilor geometrice : dacă există un segment de lungime pe plan , construim un segment de lungime cu compas și riglă dacă și numai dacă numărul este real constructibil (adică poate fi exprimat în radicali reali pătrați) [2] [1] [8] [9] . Aceasta implică imposibilitatea de a pătra cercul și de a dubla cubul cu un compas și o riglă, întrucât ca rezultat se vor obține numere reale neconstruibile și respectiv [1] . $unu$ $X$ $X$ ${\sqrt {\pi ))$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$
Într-o formă mai generală, teorema considerată mai sus sună astfel: pentru anumite segmente de lungimi , un segment de lungime poate fi construit cu un compas și o riglă dacă și numai dacă [1] . $a_{1},a_{1},\dots,a_{n)$ $A$ $a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots, a_{n})$
Teorema lui Gauss : Un număr este constructibil real dacă și numai dacă , unde toate sunt prime Fermat distincte pe perechi . Din această teoremă, în special, rezultă că numărul nu este constructibil real, adică este imposibil să se deseneze o trisecție a unghiului cu un compas și o riglă și, prin urmare, un unghi arbitrar [2] [1] . În mod similar, se dovedește imposibilitatea împărțirii unui unghi arbitrar în orice număr de părți egale care nu sunt o putere a două - dacă o astfel de împărțire ar fi posibilă, atunci ar fi posibil să se construiască unghiuri de forma , ceea ce este posibil numai pentru . $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big ))$ $n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k)$ $p_{i}$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big ))$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big ))$ ${\frac {2\pi }{a^{2)}}$ $a=2^{k)$

O listă de expresii algebrice pentru funcțiile trigonometrice ale unor unghiuri este dată în articolul Constante trigonometrice . Un rezultat secundar al teoremei luate în considerare este că valorile funcțiilor trigonometrice într-un unghi care este un număr întreg de grade sunt exprimate în radicali dacă și numai dacă acest număr este divizibil cu .

3

Teorema Gauss-Wanzel decurge , de asemenea, imediat din teorema lui Gauss de mai sus și afirmă că un-gon regulat poate fi construit cu un compas și o linie dreaptă dacă și numai dacă, unde toate sunt prime Fermat distincte în perechi, adică dacă și numai dacă cosinus unghiul său central egalcu , construim real [2] [9] [4] . $n$ $n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k)$ $p_{i}$ ${\frac {2\pi {n}}\,(\mathrm {rad} )$
În ciuda faptelor de mai sus, cosinusul oricărui unghi care este un multiplu de , putem exprima în radicali complecși, deoarece , unde este a doua rădăcină a unității în numerotarea standard după unitatea în sine, iar numărul este exprimat prin sau folosind Chebyshev polinoame . Totuși, chiar și în cazurile în care cosinusul unui unghi dat este exprimabil numai în radicali complecși de grad arbitrar, dar nu în cei pătrați reali, gradul minim de radicali al expresiei corespunzătoare nu este neapărat egal cu : de exemplu, , că este, acest număr este exprimabil în radicali pătrați și cubi (în acest caz, pentru a obține valoarea corectă dintre cele nouă posibile, ar trebui să luăm valorile rădăcinilor cubice cu cea mai mare parte reală). $\pi \,(\mathrm {rad} )$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\ frac {1}{u_{2}}}{\Big )))$ $u_{2)$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big ))$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big ))$ $\sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big ))))}$ $n$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3 }]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2 }}}\dreapta)$

Teoreme ale funcției

Gruparea Galois a unei funcții exprimată în radicali complecși este solubilă [6] . (În acest caz, „grupul Galois al unei funcții” înseamnă grupul de permutări ale foilor suprafeței Riemann ale unei funcții generate de permutările inelului în jurul punctelor de ramificație ale acestei suprafețe.)
Derivata unei funcții exprimată în radicali este exprimată și în radicali, deoarece derivatele tuturor operațiilor aritmetice permise în expresiile algebrice aplicate funcțiilor sunt expresii algebrice care utilizează numai valorile acestor funcții și, în cazul rădăcinii , gradul său, ca variabile:

\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}

{\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1))))}

Cu toate acestea, invers nu este adevărat: de exemplu, derivatele funcțiilor trigonometrice inverse sunt exprimabile în radicali peste , în timp ce funcțiile trigonometrice inverse în sine sunt funcții transcendentale , adică nu sunt algebrice (și orice funcție exprimabilă în radicali, așa cum am menționat de mai sus , este algebric): $\mathbb {Q}$

\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)})).

\arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)})).

\operatorname {arctg} „(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2)}}.

\operatorname {arcctg} „(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2)}}.

Teoreme polinomiale

Un polinom este solubil în radicali dacă și numai dacă grupul său Galois este în general solubil [10] .
Teorema lui Kronecker : cel puțin una dintre rădăcinile unei ecuații de gradul prim ireductibilă în numere raționale cu coeficienți întregi poate fi exprimată în radicali ca număr numai dacă dintre ele exact unul sau exact real [2] [3] . Din aceasta, prin construirea unui polinom de grad ireductibil cu coeficienți întregi și trei rădăcini reale (un exemplu de astfel de polinom poate servi ), se deduce instantaneu un caz special al următoarei teoreme pentru câmpul numerelor raționale : $n$ $n$ $5$ $x^{5}-4x-2$ $\mathbb {Q}$
Teorema Abel-Ruffini , care afirmă că ecuațiile de orice grad nu mai puțin de, cu coeficienți întregi, nu sunt rezolvabile în radicali în formă generală (adică atunci cândtoți coeficienții lor sunt parametrizați ). $5$
Cu toate acestea, ecuațiile cu coeficienți întregi de grad până la și inclusiv sunt rezolvabile (vezi Ecuație liniară , Ecuație patratică , Ecuație cubică , Ecuație de gradul al patrulea ). În același timp, ecuațiile liniare sunt rezolvabile fără utilizarea de radicali, pătrați - numai cu utilizarea de radicali pătrați (și cu rădăcini reale și reale), cubici și de gradul al patrulea - numai cu utilizarea de radicali pătrați reali și cubici complecși [2] [5] . Mai mult, așa cum se poate observa din formulele de rezolvare a tuturor acestor ecuații (pentru și puteri, vezi formula lui Cardano și formula lui Ferrari ), ele sunt rezolvabile chiar și în câmpul numerelor raționale . $patru$ $3$ $patru$

Formule pentru rezolvarea ecuațiilor de grade , ,

unu

2

3

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$ .
$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac)}}{2a))$
Una dintre soluțiile ecuației este , unde și (ar trebui să luați astfel de valori ale rădăcinilor cubice, astfel încât numărul să fie egal cu produsul lor). Prin scoaterea unui factor cu această rădăcină, ecuația cubică se transformă în produsul unei ecuații liniare și unei ecuații pătratice, soluțiile pentru care sunt date mai sus. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt ({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}$ $p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}$ $q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}$ $-{\frac {p}{3}}$

Formula completă pentru una dintre soluțiile ecuației gradului

3

${\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}- {\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^ {2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a ^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+ {\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^ {3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a }}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}$

Formulele pentru gradul în formă completă sunt prea greoaie. $patru$

O clasă mai restrânsă de ecuații, numite ecuații reciproce , sunt rezolvabile în radicali până la și inclusiv gradul. Polinoamele recurente de grad impar au forma și sunt reprezentate ca produsul dintre paranteze și o ecuație recurentă de grad par și, la rândul său, arată astfel: grad . Conform teoremei Abel-Ruffini de mai sus, o astfel de ecuație este rezolvabilă în radicali până la , prin urmare, ecuația reciprocă este rezolvabilă în radicali până la gradul [11] . $9$ $2n+1$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\ lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\Big (}x+{\frac {\lambda {x}}{\Big ))$ $n$ $n=4$ $2\cdot 4+1=9$
De asemenea, este ușor de verificat prin inducție că polinoamele de formă , unde sunt cel mult polinoame de grad , sunt rezolvabile în radicali în forma generală . Un caz special al formei , unde este un polinom de grad, se numește ecuație biquadratică și, fiind scris sub forma , are patru rădăcini egale cu . $n$ $P_{1}(P_{2}(\dots P_{n}(x)\dots ))$ $P_{1},P_{2},\dots P_{n)$ $patru$ $P(x^{2})$ $P$ $2$ $ax^{4}+bx^{2}+c$ $\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac)}}{2a)))$
Fie un polinom ireductibil peste câmp , și să fie câmpul său de descompunere . Un polinom este rezolvabil în radicali pătrați dacă și numai dacă (adică dimensiunea ca spațiu liniar peste un câmp este egală cu pentru unele naturale ) [1] . $f(x)$ $K$ $L$ $f(x)$ $\dim _{K}L=2^{n}$ $L$ $K$ $2^{n}$ $n$

Originea termenului

Prin „ radicali ” în toate expresiile luate în considerare, înțelegem rădăcinile matematice ale unui grad întreg - acest cuvânt provine din cuvântul latin „radix” , care, printre altele, are același sens. Întrucât operațiile de adunare și înmulțire , împreună cu inversele lor, permise și în expresiile algebrice , sunt definite formal înainte de exponențiere și, prin urmare, rădăcina, este rădăcina, ca operație „extremă” admisibilă, cea care apare în numele proprietate.

Note de subsol

↑ Aici intrarea denotă extensia minimă a câmpului care conține elementul , adică intersecția tuturor extensiilor care îl conțin . $G_{i-1}(\alpha _{i})$ $G_{i-1}$ $\alpha_i$ $G_{i-1}$
↑ Aici intrarea denotă extensia minimă a câmpului care conține elementul , adică intersecția tuturor extensiilor care îl conțin . $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $K$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $K$
↑ Aici intrarea denotă extensia minimă a câmpului care conține elementul , adică intersecția tuturor extensiilor care îl conțin . $K_{i-1}(f_{i})$ $K_{i-1)$ $f_{i}$ $K_{i-1)$

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 E. Bunina "Polinoame separabile. Grupul Galois. Expresibilitate în radicali. Probleme de construcție de nerezolvat." . Preluat la 5 mai 2020. Arhivat din original la 22 septembrie 2018. (nedefinit)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 A. Skopenkov „Încă câteva dovezi din carte: solvabilitatea și insolvabilitatea ecuațiilor în radicali” . Preluat la 5 mai 2020. Arhivat din original la 20 ianuarie 2021. (nedefinit)
↑ 1 2 V.Tikhomirov „Abel și marea lui teoremă” (revista Kvant, 2003, ianuarie) . Preluat la 5 mai 2020. Arhivat din original la 20 ianuarie 2022. (nedefinit)
↑ 1 2 3 Kulikov L.Ya. "Algebra și teoria numerelor. Manual pentru institute pedagogice"
↑ 1 2 „Solving Equations Using One Radical” (Conferința de vară a Turneului Orașelor) . Preluat la 5 mai 2020. Arhivat din original la 20 ianuarie 2022. (nedefinit)
↑ 1 2 Alekseev V.B. „Teorema lui Abel în probleme și soluții” . Preluat la 5 mai 2020. Arhivat din original la 6 august 2020. (nedefinit)
↑ Rezolvarea ecuațiilor în radicali (Mediu interactiv de informare și consultanță) . Preluat la 5 mai 2020. Arhivat din original la 10 august 2016. (nedefinit)
↑ A. Adler „Teoria construcțiilor geometrice” (link inaccesibil) . Preluat la 5 mai 2020. Arhivat din original pe 27 mai 2020. (nedefinit)
↑ 1 2 M. Balandin „Introducere în construcții cu busolă și riglă”
↑ Prelegerea la Școala Superioară de Științe Economice . Preluat la 17 mai 2020. Arhivat din original la 29 martie 2017. (nedefinit)
↑ S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pașicenko. "Algebra și începuturile analizei. Ecuații și inegalități"

Expresibilitatea în radicali

Pentru numere

Definiții primare

Alte definiții

Exemple

Explicații

Pentru funcții , polinoame și ecuații

Definiții primare

Alte definiții

Exemple

Explicații

Proprietăți generale

Teoreme geometrice și trigonometrice

Teoreme ale funcției

Teoreme polinomiale

Originea termenului

Note de subsol

Note

Literatură