Wronskian

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 23 ianuarie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Wronskian , sau determinantul lui Wronsky , este o funcție definită pentru un sistem de funcții pe un interval care sunt diferențiabile -timp. Este dat ca determinant al următoarei matrice : $W(f_{1},\dots f_{n})(x)$ $f_1(x),\ldots f_n(x)$ $eu$ $(n-1)$

W(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) ) & \cdots & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x ) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,

Un Wronskian este, de asemenea, o funcție definită de un determinant al unei forme mai generale. Și anume, să fie date n funcții vectoriale cu n componente: . Atunci determinantul va arăta astfel (pentru a evita discrepanțe, îl notăm cu ): $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $f_i=(f_i^1, \ldots ,f_i^n)$ $W_2$

W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n ^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\în I,

Numit după matematicianul polonez Józef Wronski . Termenul „Wronskian” a fost propus de matematicianul scoțian Thomas Muir în monografia sa din 1882 despre determinanți [1] .

Determinantul Vronsky este folosit pentru a rezolva ecuații diferențiale , de exemplu, pentru a afla dacă soluțiile găsite pentru o ecuație diferențială liniară omogenă (sau sistem de ecuații) sunt liniar independente. Acest lucru ajută la găsirea soluției generale .

Proprietăți

Dacă sunt dependente liniar de , atunci . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $eu$ $\forall x\in I\quad W(x)=0$

Dacă determinantul Wronsky pe interval nu este egal cu zero cel puțin într-un punct, atunci funcțiile sunt liniar independente (o consecință directă a proprietății anterioare). În general, inversul nu este adevărat (vezi exemplul 3), dar pentru cazul în care funcțiile sunt soluții ale unei ecuații diferențiale, vor fi adevărate corolare mai puternice (vezi mai jos). $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

Dacă sunt soluții ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul al treilea, atunci se numește Wronskianul acestei ecuații . Determinantul Wronsky al unei ecuații diferențiale omogene este fie identic egal cu zero, ceea ce înseamnă că sunt dependente liniar, fie nu dispare în niciun punct , ceea ce înseamnă că funcțiile sunt liniar independente . $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $n$ $W(f_1, \ldots ,f_n)$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ $eu$ $f_1(x), \ldots , f_n(x)$

$W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x)$ , unde este determinantul Wronsky, în care rândul cu numărul i este înlocuit cu un rând de derivate: $W_i$

$W_i(x) = \det\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1 }(x) și f_{n2}(x) și \cdots și f_{nn}(x) \end{pmatrix}$

Această formulă este valabilă pentru diferențierea determinanților oricăror matrici pătrate.

Exemple

Să verificăm că Wronskianul funcțiilor liniar dependente este egal cu zero: $1, x^2, 3+2x^2$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x- 8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.

Să verificăm acum independența liniară a funcțiilor $1,x,x^3$

W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R.

Există puncte în care Wronskianul este diferit de zero (în cazul nostru, acesta este orice punct cu excepția x=0). Prin urmare, pe orice interval, aceste funcții vor fi liniar independente.

Să dăm acum un exemplu în care Wronskianul este zero peste tot, dar funcțiile sunt încă liniar independente. Să definim două funcții:

f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases}

Ambele funcții sunt diferențiabile peste tot (inclusiv la zero, unde derivatele ambelor funcții dispar). Să verificăm că Wronskianul este zero peste tot.

W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x < 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{cazuri}

Cu toate acestea, aceste funcții sunt evident liniar independente. Vedem că egalitatea lui Wronskian la zero nu implică o dependență liniară în cazul unei alegeri arbitrare a funcțiilor.

Vezi și

Note

↑ Matematica secolului XVIII // Istoria matematicii. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 70.

Literatură

Romanko V.K. capitolele 5 și 6 // Curs de ecuații diferențiale și calcul al variațiilor. - Ed. a II-a. - M . : Laboratorul de Cunoștințe de bază, 2002. - S. 158-164, 174-177. - (Universitate tehnica). - 3000 de exemplare. — ISBN 5-93208-097-3 .