Determinant

Determinantul ( determinant ) în algebra liniară este o valoare scalară care caracterizează „expansiunea” sau „comprimarea” orientată a unui spațiu euclidian multidimensional după transformarea matricei; are sens doar pentru matrice pătrată . Notația standard pentru determinantul unei matrice este , , [1] . $A$ $\det(A)$ $|A|$ $\Delta (A)$

Determinantul unei matrice de dimensiune pătrată definită peste un inel comutativ este un element al inelului . Această valoare determină multe proprietăți ale matricei , în special, matricea este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este un element inversabil al inelului . În cazul în care este un câmp , determinantul matricei este egal cu zero dacă și numai dacă rangul matricei este mai mic decât , adică atunci când sistemele de rânduri și coloane ale matricei sunt dependente liniar . $A$ $n\ ori n$ $R$ $R$ $A$ $R$ $R$ $A$ $A$ $n$ $A$

Istorie

Teoria determinanților a apărut în legătură cu problema rezolvării sistemelor de ecuații liniare .

Autorii vechiului manual chinezesc „ Matematica în nouă cărți ” [2] s-au apropiat de conceptul de determinant .

În Europa, determinanții matricilor 2×2 se găsesc la Cardano în secolul al XVI-lea. Pentru dimensiuni mai mari, definiția determinantului a fost dată de Leibniz în 1693. Prima publicație este de Kramer . Teoria determinanților a fost creată de Vandermonde , Laplace , Cauchy și Jacobi . Termenul „determinant” în sensul său modern a fost introdus de O. Cauchy (1815), deși mai devreme (1801) K. Gauss a numit discriminantul unei forme pătratice „determinant”.

Matematicianul japonez Seki Takakazu a introdus în mod independent determinanții în 1683 [3] .

Definiții

Prin permutări

Pentru o matrice pătrată de dimensiune, determinantul ei este calculat prin formula: $A=(a_{ij})$ $n\ ori n$ $\det A$

\det A=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1}, \alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1\alpha _{1}}a_{2\alpha _{2}}\dots a_{n\alpha _{n }}

unde însumarea este efectuată peste toate permutările numerelor și denotă numărul de inversiuni în permutare . $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n)$ $1,2,\dots ,n$ $N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n})$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n)$

Astfel, determinantul include termeni, care sunt numiți și „termeni ai determinantului”. $n!$

Formula echivalenta:

\det A=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_ {n}}\cdot a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}

unde coeficientul - simbolul Levi-Civita - este egal cu: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))$

0 dacă nu toți indicii sunt diferiți,

i_{1},i_{2},\ldots,i_{n)

1 dacă toți indicii sunt diferiți și substituția este pară,

i_{1},i_{2},\ldots,i_{n)

{\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}

−1 dacă toți indicii sunt diferiți și substituția este impară.

i_{1},i_{2},\ldots,i_{n)

{\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}

Construcție axiomatică (definiție bazată pe proprietăți)

Conceptul de determinant poate fi introdus pe baza proprietăților sale. Și anume, determinantul unei matrice reale este o funcție care are următoarele trei proprietăți [4] : $\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R}$

$\det(A)$ este o funcție simetrică asimetrică a rândurilor (coloanelor) matricei . $A$
$\det(A)$ este o funcție multiliniară a rândurilor (coloanelor) matricei . $A$
$\det(E)=1$ , unde este matricea de identitate . $E$ $n\ ori n$

Valoarea determinantului matricei

Pentru o matrice de ordinul întâi, valoarea determinantului este egală cu singurul element al acestei matrice:

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}

Matrici 2 x 2

Pentru o matrice , determinantul se calculează astfel: $2\ ori 2$

\Delta ={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc

Această matrice A poate fi privită ca o matrice de mapare liniară care transformă pătratul unității într-un paralelogram cu vârfuri (0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) și ( c , d ) .

Valoarea absolută a determinantului este egală cu aria acestui paralelogram și, astfel, reflectă factorul prin care zonele sunt scalate în transformarea A. $|ad-bc|$

Valoarea determinantului cu semn ( aria orientată a paralelogramului), pe lângă factorul de scalare, indică, de asemenea, dacă transformarea A realizează o reflexie.

Matrici 3 x 3

Determinantul matricei poate fi calculat prin formula: $de 3\ ori 3$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\ end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix }a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31} &a_{32}\end{vmatrix}}=

=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{ 31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}

Pentru un calcul mai convenabil al determinantului de ordinul trei, puteți folosi regula Sarrus sau regula triunghiului.

Determinantul unei matrice compuse din vectori este egal cu produsul lor mixt în sistemul de coordonate carteziene drept și, în mod similar cu cazul bidimensional, este un volum orientat al unui paralelipiped întins de . $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$

N × N matrice

În general, pentru matrice de ordin superior (de mai sus de ordinul 2) , determinantul poate fi calculat prin aplicarea următoarei formule recursive: $n\ ori n$

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}

, unde este un minor suplimentar pentru elementul . Această formulă se numește extindere rând .

{\bar {M}}_{j}^{1}

a_{1j}

Este ușor de demonstrat că determinantul matricei nu se modifică în timpul transpunerii (cu alte cuvinte, este valabilă și o expansiune similară în prima coloană, adică dă același rezultat ca și expansiunea din primul rând):

\Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}

Dovada

Lasă . ${\tilde {\Delta }}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$

Să demonstrăm că prin inducție. Se poate observa că acest lucru este adevărat pentru matrice: ${\tilde {\Delta ))=\Delta$ $2\ ori 2$

{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1} ^{i}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta _{2}

Să presupunem că pentru matricea de ordine - adevărat. $n-1$ ${\tilde {\Delta ))_{n-1}=\Delta _{n-1}$

{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1} ^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1 }{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}( -1)^{i+1}a_{i1}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{j}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{ i1}=

=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=2}^{n}(-1)^ {i+j+1}a_{i1}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}

{\Delta _{n}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1} =a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^ {1+j}a_{1j}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}=

=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}\sum _{i=2}^{n}(-1)^ {i+j+1}a_{1j}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}

■

O extindere similară pentru orice rând (coloană) este, de asemenea, valabilă:

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}

Dovada

Lasă . ${\tilde {\Delta }}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$

Să demonstrăm că prin inducție. Se poate observa că acest lucru este adevărat pentru matrice: ${\tilde {\Delta ))=\Delta$ $2\ ori 2$

{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j} ^{i}=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta _{2}

Să presupunem că pentru matricea de ordine - adevărat. $n-1$ ${\tilde {\Delta ))_{n-1}=\Delta _{n-1}$

{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j} ^{i}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\left(\sum _{k<j}(-1)^{1+ k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}+\sum _{k>j}(-1)^{k}a_{1k}{\bar {M}}_ {jk}^{i1}\dreapta)

Să colectăm coeficienții pentru : ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$

j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{ 0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}}a_{1j_{0}}=(-1)^{i +j_{0}+k_{0}+1}(a_{ij_{0}}a_{1k_{0}}-a_{ik_{0}}a_{1j_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{k_{0}}a_{1k_{0} }+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}+1}a_{1j_{0}}=(-1)^{i +j_{0}+k_{0}+1}(a_{ik_{0}}a_{1j_{0}}-a_{ij_{0}}a_{1k_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

{\tilde {\Delta _{n))}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M} }_{jk}^{1i}

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=\sum _{j =1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\left(\sum _{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}{\ bar {M}}_{jk}^{1i}+\sum _{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^ {1i}\dreapta)

Să colectăm coeficienții pentru : ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$

j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-1}a_{ ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-2}a_{ij_{0}}=( -1)^{j_{0}+i+k_{0}}(a_{1j_{0}}a_{ik_{0}}-a_{1k_{0}}a_{ij_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-2}a_{ ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-1}a_{ij_{0}}=( -1)^{k_{0}+i+j_{0}}(a_{1k_{0}}a_{ij_{0}}-a_{1j_{0}}a_{ik_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

{\Delta _{n}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk }^{1i}={\tilde {\Delta _{n))}

■

Generalizarea formulelor de mai sus este extinderea determinantului conform lui Laplace ( teorema lui Laplace ), ceea ce face posibilă calcularea determinantului pentru orice rând (coloană): $k$

\Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+\ldots +i_{k}+j_{ 1}+\ldots +j_{k}}M_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}

Metode alternative de calcul

Metoda de condensare Dodgson , bazată pe formula recursivă:

{\displaystyle \Delta ={\frac {{\bar {M}}_{1}^{1}{\bar {M}}_{k}^{k}-{\bar {M}}_{ 1}^{k}{\bar {M}}_{k}^{1}}{{\bar {M}}_{1,k}^{1,k))))

Proprietățile de bază ale determinanților

Următoarele proprietăți reflectă principalele rezultate ale teoriei determinanților, a cărei aplicare depășește cu mult limitele acestei teorii:

$\det E=1$ (Determinantul matricei de identitate este 1);
$\det cA=c^{n}\det A$ (Determinantul este o funcție de putere omogenă pe spațiul matricelor de mărime ); $n$ $n\ ori n$
$\det A^{T}=\det A$ (Determinantul unei matrice nu se schimbă atunci când este transpusă);
$\det(AB)=\det A\cdot \det B$ (Determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților lor și sunt matrici pătrate de același ordin); $A$ $B$
$\det A^{-1}=(\det A)^{-1)$ , iar matricea este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este inversat ; $A$ $\det A$
Există o soluție diferită de zero a ecuației dacă și numai dacă (sau trebuie să fie un divizor zero netrivial dacă nu este un inel integral). $AX=0$ $\detA=0$ $\det A$ $R$

Determinant în funcție de rândurile (coloanele) matricei

Când studiem teoria determinanților, este util să rețineți că această teorie se bazează pe tehnica manipulării rândurilor și coloanelor de matrice dezvoltată de K.F. Gaussian (transformări Gauss). Esența acestor transformări se reduce la operații liniare pe rânduri (coloane) și permutarea acestora. Aceste transformări se reflectă în determinant într-un mod destul de simplu, iar atunci când le studiezi, este convenabil să „partițizi” matricea originală în rânduri (sau coloane) și să consideri determinantul ca o funcție definită pe seturi de rânduri (coloane). În plus, literele denotă rândurile (coloanele) ale matricei . ${\hat {A}}_{i}$ $A$

1. Determinantul este o funcție multiliniară a rândurilor (coloanelor) unei matrice. Multiliniaritatea înseamnă că funcția este liniară în fiecare argument cu valori fixe ale argumentelor rămase:

\det({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i}, \ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots , {\hat {A}}_{n})

2. Determinantul este o funcție de simetrie oblică a rândurilor (coloanelor) matricei, adică atunci când două rânduri (coloane) ale matricei sunt schimbate, determinantul său se înmulțește cu −1:

\det(\ldots,{\hat {A}}_{i},\ldots,{\hat {A}}_{j},\ldots )=-\det(\ldots,{\hat {A}}_{j},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots )

3. Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt aceleași, atunci determinantul acesteia este egal cu zero:

{\hat {A}}_{i}={\hat {A}}_{j}\Longrightarrow \det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{ \hat {A}}_{j},\ldots )=0

Cometariu. Proprietățile 1-3 sunt principalele proprietăți ale determinantului în funcție de rânduri (coloane), ele se demonstrează ușor direct din definiție. Proprietatea 2 (simetrie oblică) este o consecință logică a proprietăților 1 și 3. Proprietatea 3 este o consecință logică a proprietății 2 dacă elementul 2 (adică 1 + 1) din inel nu coincide cu zero și nu este un divizor de zero. Proprietățile 1 și 3 implică, de asemenea, următoarele proprietăți: $R$

4. Factorul comun al elementelor oricărui rând (coloană) al determinantului poate fi scos din semnul determinantului (o consecință a proprietății 1). 5. Dacă cel puțin un rând (coloană) al matricei este zero, atunci determinantul este egal cu zero (o consecință a proprietății 4). 6. Dacă două (sau mai multe) rânduri (coloane) ale unei matrice sunt dependente liniar, atunci determinantul acesteia este egal cu zero (o consecință a proprietăților 1 și 3). 7. Când se adaugă la orice rând (coloană) o combinație liniară a altor rânduri (coloane), determinantul nu se modifică (o consecință a proprietăților 1 și 6).

Un fapt de importanță fundamentală este universalitatea determinantului ca funcție multiliniară oblică-simetrică de rang complet, ale cărei argumente sunt elemente ale unui spațiu vectorial de dimensiuni finite (sau -modul cu o bază finită). Următoarele $V$ $R$ $V$

Teorema. Fie un modul liber de rang ( -spațiu vectorial dimensional peste , dacă este un câmp). Fie o funcție cu valoare pe cu proprietăți 1-3. Apoi, atunci când alegeți baza spațiului , există o constantă astfel încât pentru toate valorile egalitatea este adevărată:

V

R

n

n

R

R

\varphi (X_{1},X_{2},\dots, X_{n})

R

V^{n}

E_{1},E_{2},\dots,E_{n)

V

c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots,E_{n})

X_{1},X_{2},\dots,X_{n)

\varphi (X_{1},X_{2},\dots,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X} }_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})

unde este o coloană de coordonate a vectorului în raport cu baza . ${\hat {X}}_{i}$ $X_{i}$ $E_{1},E_{2},\dots,E_{n)$

Dovada

Să extindem vectorii după baza : . Atunci le vor corespunde următoarele coloane: . $X_{1},X_{2},\dots,X_{n)$ $E_{1},E_{2},\dots,E_{n)$ $X_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}E_{j)$ ${\hat {X}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}{\hat {E}}_{j}$

Datorită multiliniarității funcției $\varphi$ $\varphi (X_{1},X_{2},\dots, X_{n})=\varphi (\sum _{i_{1}=1}^{n}x_{1i_{1)) E_{i_{1}},\sum _{i_{2}=1}^{n}x_{2i_{2}}E_{i_{2}},\dots ,\sum _{i_{n}= 1}^{n}x_{ni_{n}}E_{i_{n}})=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}=1}^{n} \varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})\cdot x_{1i_{1}}x_{2i_{2}}\dots x_{ ni_{n}}$

În virtutea proprietății 3, dacă există indici coincidenți între ei, atunci $i_{1},i_{2},\dots, i_{n}$

\varphi (E_{i_{1)),E_{i_{2)),\dots,E_{i_{n)))=0

În caz contrar, din cauza simetriei oblice (proprietatea 2), obținem:

\varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots,E_{i_{n}})=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{ n}}\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})

Astfel , unde . ■ $\varphi (X_{1},X_{2},\dots,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X} }_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})$ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots,E_{n})$

Una dintre cele mai importante consecințe ale universalității determinantului este următoarea teoremă asupra multiplicativității determinantului.

Teorema. Fie o matrice de dimensiune . Apoi pentru orice matrice de dimensiune .

A

n\ ori n

\det(AX)=\det A\cdot \det X

X

n\ ori n

Dovada

Luați în considerare o formă multiliniară oblică-simetrică pe spațiul coloanei . Conform teoremei demonstrate, această formă este egală cu , unde . ■ $R^{n}$ $\varphi ({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})=\det(A {\hat {X}}_{1},A{\hat {X}}_{2},\dots ,A{\hat {X}}_{n})=\det(AX)$ $c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})= c_{0}\det X$ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots,E_{n})=\det({\hat {A}}_{1},{\hat {A }}_{2},\dots ,{\hat {A}}_{n})=\det A$

Volumul determinant și orientat

Fie trei vectori în spațiu . Ele generează un paralelipiped ale cărui vârfuri se află în puncte cu vectori cu rază . Această casetă poate fi degenerată dacă vectorii sunt coplanari (se află în același plan, sunt dependenți liniar). ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {0}},{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}, {\vec {a}}+{\vec {b}} ,{\vec {c}}+{\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}}+{ \vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Funcția de volum orientat este definită ca volumul cutiei generată de acești vectori și luată cu semnul „+” dacă triplul vectorilor este orientat pozitiv și cu semnul „-” dacă este orientat negativ. Funcția este multiliniară și oblică-simetrică. Proprietatea 3 este evident satisfăcută. Pentru a demonstra multiliniaritatea acestei funcții, este suficient să se demonstreze liniaritatea acesteia față de vectorul . Dacă vectorii sunt dependenți liniar, valoarea va fi zero indiferent de vector și, prin urmare, depinde liniar de acesta. Dacă vectorii sunt independenți liniar, se notează cu vectorul unității normală la planul vectorilor , astfel încât . Apoi, volumul orientat al paralelipipedului este egal cu produsul ariei bazei, construit pe vectori și independent de vector , și valoarea algebrică a proiecției vectorului pe normala la bază, care este egală. la produsul scalar și este o mărime dependentă liniar de vector . Linearitatea față de este dovedită, iar liniaritatea față de restul argumentelor este dovedită în mod similar. ${\rm {Vol}}({\vec {a}}, {\vec {b}}, {\vec {c}})$ $({\vec {a)), {\vec {b)], {\vec {c))}$ ${\rm {Vol}}({\vec {a}}, {\vec {b}}, {\vec {c}})$ $\vec a$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\rm {Vol}}({\vec {a}}, {\vec {b}}, {\vec {c}})$ $\vec a$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\vec {n}}$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\rm {Vol}}({\vec {n}}, {\vec {b}}, {\vec {c}})>0$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ $\vec a$ $\vec a$ $\langle {\vec {a)),{\vec {n}}\rangle$ $\vec a$ $\vec a$

Aplicând teorema asupra universalității determinantului ca funcție multiliniară oblică-simetrică, obținem că atunci când alegem o bază ortonormală a spațiului $({\vec {e}}_{1}, {\vec {e}}_{2}, {\vec {e}}_{3})$ $\mathbb {R} ^{3}$

{\rm {Vol}}({\vec {a}}, {\vec {b}}, {\vec {c}})={\rm {Vol}}({\vec {e} }_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1} \\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1 }&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}

unde sunt coordonatele vectorilor din baza aleasă. $a_{i},b_{i},c_{i}$ $({\vec {a)), {\vec {b)], {\vec {c))}$

Astfel, determinantul matricei de coeficienți a vectorilor față de baza ortonormală are semnificația volumului orientat al paralelipipedului construit pe acești vectori.

Toate cele de mai sus, fără modificări semnificative, sunt transferate într-un spațiu de dimensiune arbitrară. $\mathbb {R} ^{n}$

Descompunerea rândurilor/coloanelor determinante și inversarea matricei

Formulele de descompunere rând/coloană permit reducerea calculului determinanților la o procedură recursivă care utilizează calculul determinanților de ordine inferioară. Pentru a deriva aceste formule, grupăm și însumăm în formula pentru determinantul matricei , ținând cont de egalitatea , toți termenii nenuli conținând elementul . Această sumă este: $C=(c_{ij})$ $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n}=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}$ $c_{nn}$

c_{nn}\sum _{i_{1},\dots i_{n-1}=1}^{n-1}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n }c_{1i_{1}}\dots c_{n-1,i_{n-1}}=c_{nn}\sum _{i_{1},\dots i_{n-1}=1}^{ n-1}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}c_{1i_{1}}\dots c_{n-1,i_{n-1}}=c_{nn}\det C_{n}^{n}

unde este matricea obtinuta prin stergerea randului cu numarul si a coloanei cu numarul . $C_{i}^{j)$ $C$ $i$ $j$

Deoarece un element arbitrar poate fi mutat în colțul din dreapta jos al matricei prin permutarea coloanei corespunzătoare la dreapta și permutarea rândului corespunzător în colțul din dreapta jos al matricei, iar matricea suplimentară a acesteia își va păstra forma, atunci suma tuturor termenilor din expansiunea determinantului care conține , va fi egală cu $c_{ij}$ $(nj)$ $(ni)$ $c_{ij}$

(-1)^{(ni)}(-1)^{(nj)}c_{ij}\det C_{i}^{j}=(-1)^{i+j}c_{ ij}\det C_{i}^{j}=c_{ij}A_{i}^{j}

Mărimea se numește complement algebric al elementului de matrice . $A_{i}^{j}=(-1)^{i+j}\det C_{i}^{j)$ $c_{ij}$

Având în vedere că fiecare termen al expansiunii unui determinant cu un coeficient diferit de zero conține exact un element din rândul i, putem extinde determinantul în termenii acestui rând:

\det C=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}A_{i}^{j)

— Formula pentru extinderea determinantului din al-lea rând

În mod similar, având în vedere că fiecare termen al expansiunii unui determinant cu un coeficient diferit de zero conține exact un element din a j-a coloană, putem extinde determinantul în termenii acestei coloane:

\det C=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}A_{i}^{j)

— Formula pentru extinderea determinantului din coloana j-a

Dacă elementele din rândul k al matricei sunt copiate pe rândul i, determinantul acestuia va deveni egal cu zero și, conform formulei de extindere a determinantului din rândul i, obținem: $C$

0=\sum _{j=1}^{n}c_{kj}A_{i}^{j)

— Formula pentru expansiunea „falsă” a determinantului din linia i-a ( ).

i\neq k

La fel pentru coloane:

0=\sum _{j=1}^{n}c_{ik}A_{i}^{j)

— Formula pentru expansiunea „falsă” a determinantului din coloana j-a ( )

j\ne k

Este util să scrieți formulele obținute sub formă de matrice. Să introducem o matrice de adunări algebrice la elementele matricei : . Apoi, conform formulelor obținute, $C$ $A=(A_{i}^{j})$

CA^{T}=A^{T}C=(\det C)\cdot E

Corolarul 1 (Criteriul de inversabilitate a matricelor). O matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă este un element inversabil al inelului și . $C$ $\det C$ $R$ $C^{-1}=(\det C)^{-1}\cdot A^{T)$

Corolarul 2. Dacă produsul matricelor este zero și matricea este pătrată, atunci . $CX=0$ $C$ $(\det C)\cdot X=0$

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind determinanți

Formula lui Cramer permite exprimarea soluției unui sistem de ecuații algebrice liniare ca raport al determinanților, al cărui numitor este determinantul sistemului, iar numărătorul este determinantul matricei sistemului, în care coloana de coeficienți pentru coeficienții corespunzătoare variabila este înlocuită cu o coloană a părților din dreapta ecuațiilor.

Formula lui Cramer . Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice:, undeeste matricea de coeficienți a sistemului de mărime,este coloana laturilor din dreapta ale ecuațiilor sistemului, iar vectoruleste soluția acestui sistem . Atunci, pentru orice, egalitatea este valabilă: $CX=B$ $C=(c_{ij})$ $n\ ori n$ $B=(b_{1},b_{2},\dots,b_{n})^{T)$ $X=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^{T)$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots,\lambda _{n}\in R$

(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\dots +\lambda _{n}x_{n})\cdot (\det C)=-\ det {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}&b_{2}\\\ puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\puncte \\c_{n1}&c_{n2}&\puncte &c_{nn}&b_{n}\\\lambda _{1}&\lambda _{2}& \dots &\lambda _{n}&0\end{pmatrix}}

Dovada

Se notează după sumă și se introduce $\Lambda X$ $\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\dots +\lambda _{n}x_{n)$

matrice și vector .

D={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}&b_{2 }\\\puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\puncte \\c_{n1}&c_{n2}&\puncte &c_{nn}&b_{n}\\\lambda _{1}&\lambda _ {2}&\dots &\lambda _{n}&\Lambda X\end{pmatrix}}

X'={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\dots \\x_{n}\\-1\end{pmatrix}}

Apoi și conform Corolarul 2 din secțiunea anterioară . $DX'=0$ $(\det D)X'=0$

Dar, deoarece una dintre componentele vectorului este egală cu -1, aceasta înseamnă că . Afirmația este dovedită pentru că $X'$ $\det D=0$

\det D=\Lambda X\cdot (\det C)+\det {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21 }&c_{22}&\puncte &c_{2n}&b_{2}\\\puncte &\puncte &\puncte &\puncte &\puncte \\c_{n1}&c_{n2}&\puncte &c_{nn}&b_ {n}\\\lambda _{1}&\lambda _{2}&\dots &\lambda _{n}&0\end{pmatrix}}

■

Din această formulă rezultă, în special, că dacă - nu este degenerat (nu este zero sau divizor zero), sistemul poate avea cel mult o soluție, iar dacă determinantul este și inversabil, atunci sistemul are o soluție unică. $\det C$

Una dintre cele mai importante teoreme din teoria determinanților este următoarea teoremă privind soluțiile unui sistem omogen de ecuații liniare.

Teorema. Să fie un câmp. Un sistem omogen de ecuații liniare are o soluție netrivială (diferită de zero) dacă și numai dacă determinantul matricei coeficienților este egal cu zero: . $R$ $CX=0$ $\det C=0$

Dovada

Necesitatea condiției este cuprinsă în Corolarul 2 al secțiunii precedente. Să dovedim necesitatea.

Dacă matricea este zero, orice vector este o soluție. Fie minorul maxim nedegenerat din matricea dimensiunilor . Fără a pierde generalitatea, presupunem că acest minor este format din primele r rânduri și coloane (în caz contrar, renumerotăm variabilele și rearanjam ecuațiile într-o ordine diferită.) Să introducem vectorii și . Atunci primele r ecuații ale sistemului sub formă de matrice sunt scrise după cum urmează: $C$ $X$ $C_{0}$ $C$ $r\ ori r$ $X_{0}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{r})^{T)$ $X_{1}=(x_{r+1},\dots,x_{n})^{T)$

C_{0}X_{0}+C_{1}X_{1}=0

Deoarece matricea este inversabilă, orice valoare corespunde unui singur vector care satisface aceste ecuații. Să arătăm că în acest caz ecuațiile rămase vor fi îndeplinite automat. Lasă . $C_{0}$ $X_{1}$ $X_{0}=-C_{0}^{-1}C_{1}X_{1}$ $j>r$

Să introducem două matrice:

D_{1}={\begin{pmatrix}c_{11}&\dots &c_{1r}&c_{1r+1}x_{r+1}+\dots +c_{1n}x_{n}\ \c_{21}&\dots &c_{2r}&c_{2r+1}x_{r+1}+\dots +c_{2n}x_{n}\\\puncte &\puncte &\puncte &\puncte \ puncte \dots \dots \\c_{r1}&\dots &c_{rr}&c_{rr+1}x_{r+1}+\dots +c_{rn}x_{n}\\c_{j1}&\ puncte &c_{jr}&c_{jr+1}x_{r+1}+\dots +c_{jn}x_{n}\\\end{pmatrix}}

și .

D_{2}={\begin{pmatrix}c_{11}&\dots &c_{1r}&c_{1r+1}x_{r+1}+\dots +c_{1n}x_{n}\ \c_{21}&\dots &c_{2r}&c_{2r+1}x_{r+1}+\dots +c_{2n}x_{n}\\\puncte &\puncte &\puncte &\puncte \ puncte \dots \dots \\c_{r1}&\dots &c_{rr}&c_{rr+1}x_{r+1}+\dots +c_{rn}x_{n}\\c_{j1}&\ puncte &c_{jr}&-(c_{j1}x_{1}+\dots +c_{jr}x_{r})\\\end{pmatrix}}

În matrice , toate coloanele sunt părți ale coloanelor din matrice , iar ultima coloană este o combinație liniară a coloanelor matricei cu coeficienți , prin urmare, datorită liniarității determinantului asupra coloanelor , există o combinație liniară a determinanţi ai minorilor matricei de mărime . Deoarece este cel mai mare minor nedegenerat ca dimensiune, toți minorii mai mari au un determinant zero, deci . $D_{1}$ $C$ $C$ $x_{r+1},\dots,x_{n)$ $\det D_{1}$ $C$ $(r+1)\times (r+1)$ $C_{0}$ $\det D_{1}=0$

Din relația rezultă că , unde este coloana . Prin urmare . $C_{0}X_{0}+C_{1}X_{1}=0$ $D_{2}Y=0$ $Y=(x_{1},\dots,x_{r},1)^{T}\neq 0$ $\det D_{2}=0$

Apoi . Și din moment ce , atunci j-a ecuație a sistemului este de asemenea satisfăcută. ■ $0=\det D_{1}-\det D_{2}=(\det C_{0})\cdot (c_{j1}x_{1}+c_{j2}x_{2}+\dots +c_{jn}x_{n})$ $\det C_{0}\neq 0$

Această teoremă este folosită, în special, pentru a găsi valori proprii și vectori proprii ai matricelor.

Criteriul de completitudine și independență liniară a unui sistem de vectori

Strâns legat de conceptul de determinant este conceptul de dependență liniară și de completitudine a sistemelor de vectori într-un spațiu vectorial.

Fie un câmp și un spațiu vectorial peste cu o bază finită . Să fie dat un alt set de vectori . Coordonatele lor relativ la baza dată sunt coeficienții de expansiune . Să facem o matrice (pătrată) . Teorema este adevărată: $R$ $V$ $R$ ${\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}$ $n$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$ $v_{ij)$ ${\vec {v_{i}}}=\sum v_{ij}{\vec {e_{j}}}$ $A=(v_{ij})$

Teoremă (Criteriul de completitudine și independență liniară a unui sistem de vectori).

(1) Sistemul de vectori este dependent liniar dacă și numai dacă .

{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}

\detA=0

(2) Sistemul de vectori este complet dacă și numai dacă matricea nu este degenerată ( ).

{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}

A

\det A\neq 0

Dovada

(1) Dovada se bazează pe faptul că vectorul are o coloană de coordonate egală cu , unde . $\sum x_{i}{\vec {v_{i)}}$ $AX$ $X=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^{T)$

Dacă , atunci . Atunci și dacă este diferit de zero, atunci . $\sum x_{i}{\vec {v_{i)}}=0$ $AX=0$ $(\det A)\cdot X=0$ $X$ $\detA=0$

În schimb, dacă , există o coloană non-nulă astfel încât . Aceasta înseamnă că . $\detA=0$ $X$ $AX=0$ $\sum x_{i}{\vec {v_{i)}}=0$

(2) Dacă matricea nu este degenerată, este inversabilă. Fie un vector arbitrar, fie o coloană cu coordonatele sale, . Apoi . Astfel, un vector arbitrar poate fi descompus într-un sistem de vectori , ceea ce înseamnă completitudinea lui. $A$ ${\vec {u}}$ $Y=(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})^{T)$ $X=A^{-1}Y=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^{T)$ ${\vec {u}}=\sum x_{i}{\vec {v_{i}}}$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$

Dimpotrivă, să fie matricea degenerată. Apoi, există un rând diferit de zero de coeficienți astfel încât . Aceasta înseamnă că orice vector descompunebil în termenii unui sistem de vectori satisface constrângerea . Dacă un coeficient este diferit de zero, atunci vectorul de bază nu poate fi extins în acest sistem de vectori, ceea ce înseamnă că nu este complet. ■ $A$ $C=(c_{1},c_{2},\dots,c_{n})$ $CA=0$ ${\vec {u}}=\sum x_{i}{\vec {v_{i}}}$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$ $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n}=0$ $c_{k}$ ${\vec {e_{k)})$

Consecinţă. Într-un spațiu vectorial care are o bază finită de vectori: $V$ $n$

(1) orice sistem format din mai puțin de vectori nu este complet;

n

(2) orice sistem format din mai mult de vectori este dependent liniar;

n

(3) fiecare bază a spațiului conține exact vectori.

V

n

Astfel, dimensiunea unui spațiu vectorial cu o bază finită este bine definită. $V$

Câteva proprietăți speciale ale determinanților

Determinantul matricei este egal cu produsul valorilor sale proprii .
Dacă o matrice pătrată exprimă o transformare liniară , atunci determinantul ei nu se schimbă atunci când se modifică baza spațiului liniar.

Implementare algoritmică

Metodele directe de calculare a determinantului se pot baza direct pe definiția acestuia ca sumă peste permutări sau pe expansiunea Laplace în termeni de determinanți de ordin inferior. Totuși, astfel de metode sunt foarte ineficiente, deoarece necesită operații O ( n ! ) pentru a calcula determinantul de ordinul --lea. În același timp, ele sunt universale, aplicabile în cazurile în care elementele matricei nu sunt numere (funcții, polinoame, forme diferențiale de grad par etc.), și nu necesită operații de împărțire. $n$
Una dintre cele mai rapide metode numerice de calculare a determinantului este o simplă modificare a metodei Gauss . Urmând metoda Gauss, o matrice arbitrară poate fi redusă la o formă de pas (Matrice triunghiulară superioară) folosind doar următoarele două operații pe matrice - permutarea a două rânduri și adăugarea unui alt rând la unul dintre rândurile matricei, înmulțit cu un număr arbitrar. Din proprietățile determinantului rezultă că a doua operație nu schimbă determinantul matricei, în timp ce prima doar îi inversează semnul. Determinantul unei matrice redusă la o formă în trepte este egal cu produsul elementelor de pe diagonala sa, deoarece este triunghiular , deci determinantul matricei inițiale este: $A$ $\det A=(-1)^{s}\cdot \det A_{\mbox{ref)),$

unde este numărul de permutări ale rândurilor efectuate de algoritm și este forma de pas a matricei obținută ca rezultat al algoritmului. Complexitatea acestei metode, ca și metoda Gauss, este , pentru implementarea ei este necesară utilizarea operației de împărțire.

s

A_{\mbox{ref}}

A

O(n^{3})

Determinantul poate fi calculat cunoscând descompunerea LU a matricei. Dacă , unde și sunt matrici triunghiulare, atunci . Determinantul unei matrice triunghiulare este pur și simplu produsul elementelor diagonale ale acesteia. $A=LU$ $L$ $U$ $\det A=(\det L)(\det U)$
Dacă este disponibil un algoritm care realizează multiplicarea în timp a două matrice de ordine , unde , pentru unii , atunci determinantul matricei de ordine poate fi calculat în timp . [5] În special, aceasta înseamnă că, folosind algoritmul Coppersmith-Winograd pentru multiplicarea matricei , determinantul poate fi calculat în timp . $n$ $M(n)$ $M(n)\geqslant n^{a}$ $a>2$ $n$ $O(M(n))$ $O(n^{2,376})$

Tipuri speciale de determinanți

Vezi și

Note

↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior. — Ed. a XIII-a, corectată. — M .: Nauka, 1986.
↑ E. I. Berezkina. Matematica Chinei antice. — M .: Nauka, 1980.
↑ HW Eves. O introducere în istoria matematicii . — Saunders College Publishing, 1990.
↑ Skornyakov L. A. Elemente de algebră. - M .: Nauka, 1986. - S. 16-23. – Tiraj 21.000 de exemplare.
↑ JR Bunch și JE Hopcroft. Factorizarea triunghiulară și inversarea prin multiplicare rapidă a matricei, Mathematics of Computation , 28 (1974) 231-236.

Literatură

V. A. Ilyin , E. G. Poznyak Linear Algebra, Moscova: Nauka — Fizmatlit, 1999.
Beklemishev DV Curs de geometrie analitică și algebră liniară. Moscova: Fizmatlit, 2000.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 1. Fundamentele algebrei: manual pentru licee. Moscova: Fizmatlit, 2004.
Borevici ZI Determinanți și matrici. - M.: Nauka, 1988.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare Brockhaus și Efron in jurul lumii Micul Brockhaus și Efron Nou Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 11975737s J9U : 987007550422505171 LCCN : sh85037299 NDL : 00562696 NKC : ph153485