Geometria Riemann

Geometria Riemann (numită și geometrie eliptică ) este una dintre geometriile non-euclidiene de curbură constantă (celelalte sunt geometria Lobachevsky și geometria sferică ). Dacă geometria lui Euclid se realizează într-un spațiu cu curbură gaussiană zero , Lobachevsky - cu negativă, atunci geometria lui Riemann se realizează într-un spațiu cu curbură pozitivă constantă (în cazul bidimensional, pe plan proiectiv și local pe sferă ).

În geometria riemanniană, o dreaptă este definită de două puncte, un plan de trei, două plane se intersectează de-a lungul unei linii și așa mai departe, dar în geometria riemanniană nu există drepte paralele. În geometria Riemann, ca și în geometria sferică, afirmația este adevărată: suma unghiurilor unui triunghi este mai mare decât două drepte, formula are loc unde este suma unghiurilor unui triunghi, este raza sferei pe care este implementată geometria. $\Sigma =\pi +{S}/{R^{2)),$ $\Sigma$ $R$

Geometria bidimensională a lui Riemann este similară cu geometria sferică , dar diferă prin faptul că oricare două „linii” nu au două, ca în cazul sferic, ci doar un punct de intersecție. Prin identificarea punctelor opuse ale sferei se obține un plan proiectiv , a cărui geometrie satisface axiomele geometriei riemanniene.

Și anume, luăm în considerare o sferă centrată într-un punct din spațiul tridimensional . Fiecare punct , împreună cu centrul sferei , definește o linie dreaptă , adică un punct al planului proiectiv . Juxtapunerea definește maparea , cercurile mari de pe (linii drepte în geometria sferică) merg în linii drepte pe planul proiectiv , în timp ce exact două puncte ale sferei merg într-un singur punct: împreună cu punctul și punctul diametral opus acestuia (vezi figura). Mișcările euclidiene ale spațiului , care iau sfera în sine, dau niște transformări definite ale planului proiectiv , care sunt mișcări ale geometriei riemanniene. În geometria riemanniană, orice drepte se intersectează, deoarece acest lucru este valabil pentru planul proiectiv și, prin urmare, nu există drepte paralele în el. $S$ $O$ $E$ $A\în S$ $O$ $l\subset E$ $A_{*}$ $\Pi$ $A\la A_{*}$ $S\la\Pi$ $S$ $\Pi$ $A_{*}\în \Pi$ $A\în S$ $A'\în S$ $E$ $S$ $\Pi$

Una dintre diferențele dintre geometria lui Riemann și geometria euclidiană și geometria lui Lobachevsky este că nu există un concept natural „punctul C se află între punctele A și B ” (acest concept este, de asemenea, absent în geometria sferică). Într-adevăr, un cerc mare pe sferă este afișat pe linia dreaptă a planului proiectiv și două puncte diametral opuse ale sferei și trec într-un singur punct . De asemenea, punctele merg la un punct , iar punctele merg la un punct . Astfel, cu aceeași rațiune, putem presupune că punctul se află între și și că nu se află între ele (vezi figura). $\Pi$ $S$ $A$ $A'$ $A_{*}\în \Pi$ $B,B'$ $B_{*}\în \Pi$ $C,C'$ $C_{*}\în \Pi$ $C_{*}$ $A_{*}$ $B_{*}$

Literatură

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometrie. — M.: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Ce este geometria non-euclidiană. — M.: URSS, 2007.
Alekseevskii DV, Vinberg EB, Solodovnikov AS Geometria spațiilor de curbură constantă. În: Itogi nauki i tekhniki. Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. - M.: VINITI, 1988. - T. 29. - S. 1-146.
Berger M. Geometrie. / Per. din franceza - M.: Mir, 1984. - Volumul II, partea a V-a: Geometria internă a sferei, geometria hiperbolică, spațiul sferelor.
Efimov N. V. Geometrie superioară. - Ed. a VII-a. — M.: Fizmatlit , 2003. — 584 p. — ISBN 5-9221-0267-2 .
Klein F. Geometrie non-euclidiană. - Orice ediție.
Stepanov N. N. Trigonometrie sferică. - L.-M., 1948.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 1025719271