Contele Riba

În teoria grafurilor , graficul Reeb al unei funcții descrie conectivitatea suprafețelor de nivel ale acelei funcții . A fost prezentat de Georges Ribe [1]

Definiție

Se consideră o funcție continuă definită pe o varietate compactă , . Imaginea inversă a unui punct este o suprafață plană a funcției . Două puncte sunt numite echivalente dacă aparțin aceleiași componente conexe a suprafeței de nivel .

Graficul Reeb al unei funcții  este spațiul coeficient al varietății în raport cu o astfel de relație de echivalență , . Vârfurile graficului sunt componentele conexe ale nivelurilor critice ale funcției. Orientarea graficului este determinată de direcția gradientului funcției .

Proprietăți

Următoarele proprietăți ale grafului Reeb au fost dovedite în lucrarea sa fundamentală [1] :

Fie dată o funcție Morse f pe o varietate compact - dimensională de clasă de netezime , ale cărei toate punctele critice corespund diferitelor valori critice ale funcției. Setul de astfel de funcții este deschis și dens în spațiul tuturor funcțiilor. Notați graficul Reeb al acestei funcții . Apoi:

Aceste proprietăți ale grafului implică o proprietate curioasă a funcțiilor Morse, dovedită în același loc [1] :

Aplicație

Graficele Reeb sunt folosite în matematică atunci când studiezi

Graficele Reeb, și în special graficele Reeb aciclice numite arbori de contur , sunt utilizate pe scară largă în aplicațiile computerizate:

Note

  1. 1 2 3 G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une function numérique. — CRAS Paris 222, 1946, pp. 847-849. [1] Arhivat pe 9 martie 2016 la Wayback Machine
  2. Sharko V.V. Echivalența netedă și topologică a funcțiilor pe suprafețe. // Jurnal de matematică ucraineană. 2003. V. 55. Nr. 5. S. 687-700.
  3. A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, Introducere în topologia sistemelor hamiltoniene integrabile, Nauka, M., 1997.