Contele Riba

În teoria grafurilor , graficul Reeb al unei funcții descrie conectivitatea suprafețelor de nivel ale acelei funcții . A fost prezentat de Georges Ribe [1]

Definiție

Se consideră o funcție continuă definită pe o varietate compactă , . Imaginea inversă a unui punct este o suprafață plană a funcției . Două puncte sunt numite echivalente dacă aparțin aceleiași componente conexe a suprafeței de nivel . $f:M\la R$ $y\în R$ $f^{-1}(y)\subset M$ $x,x'\in M$ $x\!\sim x'$ $f^{{-1}}(y)$

Graficul Reeb al unei funcții este spațiul coeficient al varietății în raport cu o astfel de relație de echivalență , . Vârfurile graficului sunt componentele conexe ale nivelurilor critice ale funcției. Orientarea graficului este determinată de direcția gradientului funcției . $f$ $M$ $G=M/\!\sim$ $G$ $f$

Proprietăți

Următoarele proprietăți ale grafului Reeb au fost dovedite în lucrarea sa fundamentală [1] :

Fie dată o funcție Morse f pe o varietate compact - dimensională de clasă de netezime , ale cărei toate punctele critice corespund diferitelor valori critice ale funcției. Setul de astfel de funcții este deschis și dens în spațiul tuturor funcțiilor. Notați graficul Reeb al acestei funcții . Apoi: $n$ $C^{2}$ $\Gamma$

Vârfurile de gradul 1 ale graficului corespund exact punctelor critice ale funcției f de indice 0 și n . $\Gamma$
Dacă , vârful grafic corespunzător nivelului critic al funcției f , care conține punctul critic al indicelui 1 și n-1 , poate avea gradul 2 sau 3 . $n\geq 3$
Dacă , vârfurile grafice corespunzătoare punctelor critice ale indicelui 1 pot avea gradul 2 , 3 sau 4 . $n\,=2$
Gradul unui vârf de grafic care corespunde unui nivel critic al unei funcții f care conține un punct critic de indice altul decât 0 , 1 , n-1 și n este întotdeauna 2 .

Aceste proprietăți ale grafului implică o proprietate curioasă a funcțiilor Morse, dovedită în același loc [1] :

Notăm prin mulţimea punctelor critice funcţiile indicelui k şi nk . Dacă , atunci . $\Omega _{k)$ $n\geq 3$ $|\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2$

Aplicație

Graficele Reeb sunt folosite în matematică atunci când studiezi

clasificarea topologică a funcțiilor Morse [2]
sisteme hamiltoniene [3]

Graficele Reeb, și în special graficele Reeb aciclice numite arbori de contur , sunt utilizate pe scară largă în aplicațiile computerizate:

în proiectare pe computer și modelare geometrică,
în modelele geometrice ale structurii datelor și metodele de căutare în baze de date
în sistemele de automatizare a lucrărilor de proiectare .

Note

↑ 1 2 3 G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une function numérique. — CRAS Paris 222, 1946, pp. 847-849. [1] Arhivat pe 9 martie 2016 la Wayback Machine
↑ Sharko V.V. Echivalența netedă și topologică a funcțiilor pe suprafețe. // Jurnal de matematică ucraineană. 2003. V. 55. Nr. 5. S. 687-700.
↑ A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, Introducere în topologia sistemelor hamiltoniene integrabile, Nauka, M., 1997.