Glosar de topologie generală

Acest glosar oferă definiții ale termenilor principali utilizați în topologia generală . Referințele din glosar sunt scrise cu caractere cursive .

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

A

Topologie antidiscretă Topologie pe spațiu, în care sunt deschise doar două mulțimi: spațiul în sineși mulțimea goală.

X

X

B

Baza topologică Un set de seturi deschise astfel încât orice set deschis este uniunea de seturi din bază.

În

Greutatea spațială topologică Capacitatea minimă a tuturor bazelor din spațiu . Spatiu cu adevarat complet Un spațiu homeomorf la un subspațiu închis al unei anumite puteri a liniei reale. Interior Mulțimea tuturor punctelor interioare ale mulțimii . Cel mai mare submulțime deschisă prin includere dintr-o mulțime dată. Punctul interior al unui set Un punct care este inclus în setul dat împreună cu o parte din vecinătatea acestuia . Acoperire înscrisă O copertă este înscrisă într-o copertă dacă fiecare set de este conținut în orice set de

A

B

A

B

Spatiu complet deconectat Un spațiu din care nu este conectat nicio submulțime care să conțină mai mult de un punct . Peste tot set dens Un set a cărui închidere coincide cu întregul spațiu. cartier crestat Vecinătatea unui punct dat din care acest punct însuși a fost eliminat.

G

Homeomorfismul O bijecție astfel încât și sunt continue .

f

f

f^{-1}

Spații homeomorfe Spații între care există un homeomorfism . Homotopie Pentru o mapare continuă , o mapare continuă , astfel încât pentru orice . Notația este adesea folosită , în special .

f\coloan X\la Y

F\colon[0,\;1]\time X\la Y

F(0,\;x)=f(x)

x\în X

f_t(x)=F(t,\;x)

f_0=f

Mapări homotopice Mapările sunt numite homotopice sau dacă există o homotopie astfel încât și .

f,\;g\colon X\la Y

g\sim f

f_t

f_0=f

f_1=g

Echivalența homotopică a spațiilor topologice Spațiile topologice și sunt echivalente homotopic dacă există o pereche de mapări continue și astfel încât și , aici denotă echivalența homotopie a mapărilor , adică echivalența până la homotopie . Se mai spune că și au același tip de homotopie .

X

Y

f\coloan X\la Y

g\coloană Y\la X

f\circ g\sim \mathrm{id}_Y

g\circ f\sim \mathrm{id}_X

\sim

X

Y

Homotopie invariantă O caracteristică a unui spațiu care este păstrat sub echivalența homotopică a spațiilor topologice . Adică, dacă două spații sunt echivalente homotopic, atunci ele au aceeași caracteristică. De exemplu, conexiunea , grupul fundamental , caracteristica Euler sunt invarianți de homotopie. Tip homotopic Clasa de echivalență de homotopie a spațiilor topologice , adică spațiile echivalente de homotopie, sunt numite spații de același tip de homotopie. Granita 1. Frontieră relativă . 2. La fel ca marginea colectorului .

D

spaţiul uşii Un spațiu în care fiecare subset este fie deschis, fie închis. Colon Spațiu topologic format din două puncte; Există trei opțiuni pentru specificarea topologiei - o topologie discretă formează două puncte simple , una antidiscretă formează două puncte lipicioase și o topologie cu un set deschis de un punct formează două puncte conectate . Retragerea deformarii Un subset al unui spațiu topologic care are proprietatea că există o homotopie a mapării identității spațiului într-o mapare , sub care toate punctele mulțimii rămân fixe .

A

X

\mathrm{id}_X

X\la A

A

Topologie discretă O topologie în care fiecare set este deschis . set discret Un set din care fiecare punct este izolat .

W

set închis Un set care este complementul unui open . Display închis O mapare sub care imaginea oricărui set închis este închisă. închidere Cel mai mic set închis care conține datele date.

Și

Topologie indusă Topologie pe o submulțime a spațiului topologic, în care mulțimile deschise sunt considerate a fi intersecțiile mulțimilor deschise ale spațiului ambiental cu .

A

A

Punct de referință izolat Un punct se numește izolat pentru o mulțime de spațiu topologic dacă există o vecinătate astfel încât .

A

A

X

O(a)

A\cap O(a) = a

K

Cardinal invariant Invariant topologic , exprimat ca număr cardinal . Categoria Baer O caracteristică a unui spațiu topologic care ia una dintre cele două valori; prima categorie Baire include spații care admit o acoperire numărabilă de submulțimi dense nicăieri , celelalte spații aparțin celei de-a doua categorii Baire. Compactificarea Compactificarea unui spațiu este o pereche , unde este un spațiu compact, este o încorporare homeomorfă a unui spațiu într-un spațiu și este peste tot densă. De asemenea, spațiul în sine este numit compactificare .

X

(Y,f)

Y

f

X

Y

f(X)

Y

Y

Display compact Maparea spațiilor topologice astfel încât imaginea inversă a fiecărui punct să fie compactă . spatiu compact Un spațiu topologic în care orice acoperire prin mulțimi deschise conține o subacoperire finită . Componenta de conectivitate punct Setul maxim conectat care conține acest punct. Continuum Spațiu topologic Hausdorff compact conectat . Con peste spațiul topologic Pentru un spațiu (numit baza conului ), spațiul obținut din produs prin contractarea subspațiului într-un singur punct, numit vârful conului .

X

\mathrm{C}X

X\time[0,\;1]

X\ori\{0\}

L

Spațiul Lindelof Un spațiu topologic în care orice acoperire prin seturi deschise conține o subacoperire numărabilă. spațiu conectat la cale Un spațiu în care orice pereche de puncte poate fi conectată printr-o curbă. Spațiu compact local Un spațiu în care orice punct are o vecinătate compactă . Familie local finită de submulțimi O familie de submulțimi ale unui spațiu topologic astfel încât fiecare punct din acest spațiu are o vecinătate care intersectează doar un număr finit de elemente din această familie. Spațiu conectat local Un spațiu în care orice punct are o vecinătate conectată . Spațiu contractabil local Un spațiu în care orice punct are o vecinătate contractabilă . Homeomorfism local O mapare a spațiilor topologice, astfel încât pentru fiecare punct să existe o vecinătate care este mapată într-un mod homeomorf. Uneori, o cerință este inclusă automat în definiția unui homeomorfism local și, în plus, se presupune că maparea este deschisă.

f\coloan X\la Y

x\în X

U_x

f

Y

f(X)=Y

f

M

set masiv O submulțime a unui spațiu topologic care este intersecția unui număr numărabil de submulțimi dense deschise . Dacă fiecare set masiv este dens în , atunci este un spațiu Baire .

S

X

X

X

X

Spațiul metrizabil după valoarea completă Un spațiu homeomorf față de un spațiu metric complet . Spațiu metrizabil Un spațiu homeomorf față de un spațiu metric . Manifold Spațiul topologic Hausdorff homeomorf local față de spațiul euclidian . Zona multiconectata O regiune a unui spațiu conectat cu căi al cărui grup fundamental nu este trivial. Setul din a doua categorie Baer Orice set care nu este un set din prima categorie Baer . Setul primei categorii Baer O mulțime care poate fi reprezentată ca o uniune numărabilă a mulțimilor dense nicăieri. Set de tip

F_\sigma

O mulțime reprezentabilă ca o uniune numărabilă de mulțimi închise. Set de tip

G_\delta

O mulțime reprezentabilă ca o intersecție numărabilă de mulțimi deschise.

H

acoperire Cartografierea spațiilor legate de drum , sub care orice punct are o vecinătate , pentru care există un homeomorfism , unde este un spațiu discret , pentru care, în condiția , denotă proiecția naturală, atunci .

p:X\la Y

y\în Y

U\subset Y

h:p^{-1}(U)\la U\times \Gamma

\Gamma

\pi:U\times \Gamma\to U

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

proprietate ereditară O proprietate a unui spațiu topologic astfel încât, dacă un spațiu are această proprietate, atunci oricare dintre subspațiile sale are această proprietate. De exemplu: metrizabilitate și Hausdorffness . Dacă orice subspațiu al unui spațiu are proprietatea , atunci se spune că are proprietatea în mod ereditar . De exemplu, se spune că un spațiu topologic este ereditar normal, ereditar Lindelöf, ereditar separabil.

X

P

X

P

afișare continuă O mapare sub care imaginea inversă a oricărui set deschis este deschisă. Nicăieri un set dens Un set a cărui închidere nu conține seturi deschise (închiderea are interiorul gol). spațiu normal Un spațiu topologic în care mulțimile de un punct sunt închise și oricare două mulțimi disjunse închise au vecinătăți disjunse .

Oh

Regiune Un subset deschis conectat al unui spațiu topologic . Pur și simplu spațiu conectat Un spațiu conectat , orice mapare a unui cerc în care este homotopic la o mapare constantă. Cartier Un cartier deschis sau un set care conține un cartier deschis . cartier deschis Pentru un punct sau un set, setul deschis care conține punctul dat sau setul dat. set deschis O mulțime, al cărei element este inclus în ea împreună cu o anumită vecinătate, concept utilizat în definirea unui spațiu topologic . afișajul deschis O mapare sub care imaginea oricărui set deschis este deschisă . Set deschis-închis Un set care este atât deschis , cât și închis . Cartografiere deschis-închis O mapare care este atât deschisă , cât și închisă . Frontieră relativă Intersecția închiderii unei submulțimi a unui spațiu topologic cu închiderea complementului său. Granița unei mulțimi este de obicei notă cu .

E

\partial E

Topologie relativă La fel ca topologia indusă . Set relativ compact O submulțime a unui spațiu topologic a cărui închidere este compactă. Un astfel de set se mai numește și precompact .

P

Pereche de spații O pereche ordonată în care este un spațiu topologic și este un subspațiu (cu topologia subspațială ).

(X,A)

X

A

Spațiu paracompact Un spațiu topologic în care orice înveliș deschis poate fi înscris cu un înveliș deschis local finit (adică, astfel încât pentru orice punct se poate găsi o vecinătate care se intersectează cu un număr finit de elemente ale acestui înveliș). Densitatea spațiului topologic Cardinalitatea minimă a submulților dense pretutindeni ale unui spațiu. set dens O mulțime dintr-un spațiu topologic care are o intersecție nevidă cu orice vecinătate a unui punct arbitrar .

X

x\în X

sub acoperire Pentru o acoperire , subcoperta este , unde if este ea însăși o acoperire.

\{V_\alpha\}

\alpha\în A

\{V_\beta\}

\beta\în B\subsetul A

\{V_\beta\}

subspațiu Un subset al unui spațiu topologic echipat cu o topologie indusă . Strat Pentru o submulțime sau spațiu , aceasta este reprezentarea sa ca o uniune de mulțimi , , mai precis, este o mulțime de mulțimi , astfel încât . Cel mai adesea, sunt luate în considerare capacele deschise, adică presupun că toate sunt seturi deschise.

X

\{V_\alpha\}

\alpha\în A

\{V_\alpha\}

\alpha\în A

X\subset\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha

\{V_\alpha\}

Spațiu complet ceh Un spațiu se numește Cech complet dacă există o compactare a spațiului , astfel încât să fie un set de tip în spațiu .

X

(Y,f)

X

f(X)

G_\delta

Y

Topologie de comandă Topologie pe o mulțime ordonată arbitrar , introdusă de o prebază de mulțimi de forma și , unde trece prin toate elementele .

\langle X, \sqsubseteq \rangle

\{x\in X\mid x \sqsubseteq a, x\neq a\}

\{x\in X\mid a \sqsubseteq x, x\neq a\}

A

X

prebază O familie de submulțimi deschise ale unui spațiu topologic astfel încât mulțimea tuturor mulțimilor care sunt intersecția unui număr finit de elemente formează o bază .

Y

X

Y

X

punct limită Pentru o submulțime a unui spațiu topologic , un punct astfel încât în oricare din vecinătatea sa perforată c există cel puțin un punct din .

A

X

a\în X

A

A

Set derivat Setul tuturor punctelor limită . Colon simplu Un spațiu topologic de două puncte în care ambele seturi de un punct sunt deschise. Direct Aleksandrova Spațiul topologic peste produsul cartezian al unei mulțimi bine ordonate și al unui semiinterval real cu topologia de ordine sub ordonarea lexicografică este un spațiu normal Hausdorff nemetrizabil , un contraexemplu important în multe raționamente topologice.

A\time[0, 1)

Straight Suslin O mulțime densă completă ordonată liniar ipotetică (existența sa este independentă de ZFC ) care are unele proprietăți ale dreptei obișnuite, dar nu este izomorfă cu aceasta. Pseudocaracter al unui spațiu topologic Supremul pseudocaracterelor unui spațiu topologic în toate punctele. Pseudocaracter al unui spațiu topologic într-un punct Cardinalitatea minimă a tuturor familiilor de cartiere ale unui punct care se intersectează într-un punct.

R

spațiu obișnuit Un spațiu topologic în care mulțimile de un punct sunt închise și pentru orice mulțime închisă și un punct care nu este conținut în acesta, există vecinătățile lor care nu se intersectează . Retrage O retragere a unui spațiu topologic este un subspațiu al acestui spațiu pentru care există o retragere pe .

X

A

X

A

retragere Retracția este o mapare continuă dintr -un spațiu topologic pe un subspațiu al acestui spațiu, identic cu .

X

A

A

C

Colon conectat Un spațiu topologic în două puncte în care doar unul dintre seturile de un punct este deschis. spațiu conectat Un spațiu care nu poate fi împărțit în două seturi închise negoale și neintersectate. spatiu separabil Un spațiu topologic în care există o mulțime densă numărabilă peste tot . Greutatea rețelei a spațiului topologic Capacitatea minimă a tuturor rețelelor din spațiu. Net O rețea a unui spațiu topologic este o familie de submulțimi ale spațiului , astfel încât pentru orice punct și oricare dintre vecinătățile sale , există , astfel încât .

X

N

X

X

U

V\în N

x\în V\subset U

Colon aglomerat Spațiu topologic antidiscret de două puncte. Răspândirea spațiului topologic Supremul cardinalităților tuturor subspațiilor discrete . spațiu contractat Un spațiu homotopic echivalent cu un punct. Suma spațiilor topologice Suma unei familii de spații topologice este unirea disjunctă a acestor spații topologice ca mulțimi cu topologia formată din toate mulțimile de forma în care fiecare este deschis în . Desemnat .

\{A_s\}_{s\în S}

\coprod_{s\in S}A_s

\coprod_{s\in S}U_s

Ne

La fel de

\bigoplus_{s\in S}A_s

T

Etanșeitatea spațiului topologic Supremul de etanșeitate al unui spațiu topologic în toate punctele. Etanșeitatea spațiului topologic într-un punct Etanşeitatea unui spaţiu topologic într-un punct este cardinalul cel mai mic , pentru care dacă , atunci există cardinalitate cel mult , astfel încât .

X

X

\alfa

x\in \bar{A}

B\subset A

\alfa

x\in\bar{B}

Spațiul Tihonov Un spațiu topologic în care mulțimile de un punct sunt închise și pentru orice punct și orice mulțime închisă care nu conține un punct există o funcție reală continuă care este egală pe mulțime și în punctul .

X

F

X

0

F

unu

X

Invariant topologic O caracteristică a unui spațiu care se păstrează sub un homeomorfism . Adică, dacă două spații sunt homeomorfe, atunci ele au aceeași caracteristică invariantă. De exemplu, invarianții topologici sunt: compactitatea , conexiunea , grupul fundamental , caracteristica Euler . Maparea topologic injectivă O hartă continuă care realizează un homeomorfism între domeniul definiției și imaginea sa completă. Spațiul topologic O mulțime cu o topologie dată , adică se determină care dintre submulțimile sale sunt deschise . Topologie O familie de submulțimi ale unei mulțimi care conține o uniune arbitrară și o intersecție finită a elementelor sale, precum și mulțimea goală și el însuși . Elementele unei familii se numesc multimi deschise . De asemenea, topologia poate fi introdusă prin baza , ca o familie formată din toate uniunile arbitrare ale elementelor bazei.

X

X

Topologia convergenței compacte O topologie dată pe un set de funcții reale continue, definite de o familie de prenorme , se numește topologia convergenței compacte.

p_n(x)=\sup_{-n\leqslant t\leqslant n}|x(t)|,\;n\in\N

Topologia convergenței punctuale O topologie definită pe o mulțime de funcții continue de la un spațiu topologic la un spațiu topologic , a cărei bază sunt toate mulțimile de forma unde - puncte de la - mulțimi deschise de la , se numește topologia convergenței punctuale. O mulțime cu o astfel de topologie se notează cu .

C(X,Y)

X

Y

\{f: f(x_1) \in U_1, f(x_2) \in U_2, \dots, f(x_n) \in U_n\},

x_1 , x_2,\dots x_n

X, U_1 , U_2,\dots U_n

Y

C(X,Y)

C_p(X,Y)

Topologia convergenței uniforme Fie definită o normă pe un spațiu vectorial de funcții continue pe un spațiu topologic compact . Topologia generată de o astfel de metrică se numește topologia convergenței uniforme.

L(K)

f

K

\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|

Topologia Scott O topologie peste un set complet parțial ordonat , în care seturile superioare sunt considerate deschisecare sunt inaccesibile conexiunilor directe. Punct de acumulare La fel ca punctul limită . Punct de acumulare complet Pentru o mulțime , un punct din spațiul topologic astfel încât intersecția cu orice vecinătate are aceeași cardinalitate ca întreaga mulțime .

M

x\în M

X

M

X

M

punct de atingere Pentru o mulțime , un punct, a cărui vecinătate conține cel puțin un punct din . Setul tuturor punctelor de atingere coincide cu închiderea .

M

M

\overline{M}

Topologie banala La fel ca topologia antidiscretă

Wu

Homeomorfism universal Sigiliu Bijecție continuă .

F

Spațiu factorial Spațiu topologic pe o mulțime de clase de echivalență: Pentru un spațiu topologic și o relație de echivalență, topologia pe o mulțime de coeficient este introdusă prin definirea mulțimilor deschise ca familia tuturor mulțimilor a căror imagine inversă este deschisă în maparea coeficientului (asociarea unui element cu clasa de echivalență ).

X

\sim

X/\!\sim

X

x\în X

[x]_{\sim} = \{y\in X\mid x\sim y\}

Sistem fundamental de cartier Sistemul fundamental de vecinătăți ale unui punct este o familie de vecinătăți ale punctului , astfel încât pentru orice vecinătate a punctului există , astfel încât .

X

B

X

U

X

V\in B

V\subset U

X

Caracterul unui spațiu topologic Supremul caracterelor unui spațiu topologic în toate punctele. Caracterul unui spațiu topologic într-un punct Cardinalitatea minimă a tuturor sistemelor fundamentale ale cartierelor din acest punct. Spațiul Hausdorff Un spațiu topologic în care oricare două puncte distincte au vecinătăți care nu se intersectează .

C

Cilindru peste spațiu topologic Pentru un spațiu , un spațiu construit ca produs al .

X

{\mathrm Z}X

X\time[0,\;1]

cilindru de afișare Pentru cartografiere , un spațiu coeficient construit din sumă și prin identificarea unui punct cu un punct pentru toate .

f:X\la Y

{\mathrm Z}_{f}

X\time[0,\;1]

Y

(x,1)\în X\times [0,\;1]

f(x)\în Y

x\în X

H

Numărul Lindelöf al unui spațiu topologic Cel mai mic cardinal este astfel încât un subcopertă poate fi extras din orice capac deschis, cu cardinalitate cel mult .

\alfa

\alfa

Numărul Suslin al unui spațiu topologic Cardinalitatea supremă a familiilor de seturi deschise nevide care nu se intersectează.

E

Întinderea spațiului topologic Supremul cardinalităților tuturor submulților discrete închise.

Literatură

Bourbaki, N. Elemente de matematică. Topologie generală. Structuri de bază. — M .: Nauka, 1968.
Aleksandrov, PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Topologie generală. — M .: Nauka, 1968.
Viro, O. Ya., Ivanov, O. A., Kharlamov, V. M., Netsvetaev, N. Yu. Manual cu probleme de topologie .
Engelking, R. Topologie generală. — M .: Mir , 1986. — 752 p.