Pieptene Dirac

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 aprilie 2019; verificările necesită 7 modificări .

Pieptene Dirac este o distribuție periodică Schwartz construită din funcții delta

\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t -kT)

pentru o anumită perioadă dată . $T$

Seria Fourier

Evident, periodic cu punct . De aceea $\Delta _{T}(t)$ $T$

\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)

pentru toată lumea . Seria complexă Fourier pentru o astfel de funcție periodică $t$

\Delta _{T}(t)=\sum _{{n=-\infty }}^{{+\infty }}c_{n}e^{{i2\pi nt/T}}\

unde coeficienții Fourier sunt egali cu $c_{{n}}$

$c_n$	$={\frac {1}{T}}\int _{{t_{0}}}^{{t_{0}+T}}\Delta _{T}(t)e^{{-i2\pi nt/T}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{{-T/2}}^{{T/2}}\Delta _{T}(t)e^{{-i2\pi nt/T }}\,dt\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{{-T/2}}^{{T/2}}\delta (t)e^{{-i2\pi nt/T}}\, dt\$
	$={\frac {1}{T}}e^{{-i2\pi n\,0/T}}\$
	$={\frac {1}{T}}.\$

Ca urmare a faptului că toți coeficienții Fourier sunt egali , obținem expresia finală $1/T$

\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}e^{{i2\pi nt/T} }

Link -uri

Bracewell, RN (1986), Transformarea Fourier și aplicațiile sale (ed. revizuită), McGraw-Hill ; 1-a ed. 1965, ed. a 2-a. 1978.
Córdoba, A (1989), Dirac combs, Letters in Mathematical Physics vol . 17: 191–196