Funcția generică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 10 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

O funcție generalizată , sau distribuție , este un concept matematic care generalizează conceptul clasic de funcție . Necesitatea unei astfel de generalizări apare în multe probleme fizice și matematice.

Conceptul de funcție generalizată face posibilă exprimarea într-o formă corectă din punct de vedere matematic a unor astfel de concepte idealizate precum densitatea unui punct material , sarcina punctiformă, dipolul punctual , densitatea (spațială) a unui strat simplu sau dublu , intensitatea unei surse instantanee, etc.

Pe de altă parte, conceptul de funcție generalizată reflectă faptul că este cu adevărat imposibil să se măsoare valoarea unei mărimi fizice într-un punct, dar numai valorile sale medii pot fi măsurate în vecinătăți mici ale unui punct dat. Astfel, tehnica funcțiilor generalizate servește ca un aparat convenabil și adecvat pentru descrierea distribuțiilor diferitelor mărimi fizice. Matematica la începutul secolului XX nu avea formalismele stricte necesare pentru a opera cu o nouă clasă de dependențe de cantități descoperite în fizică.

O contribuție importantă la formarea unei noi abordări matematice a conceptului de funcție în fizică îi aparține lui Η. M. Günther , care a sugerat să se ia în considerare funcțiile de mulțime corespunzătoare în loc de caracteristicile punctuale de tip densitate încă din 1916 [1] și a încercat să regândească conceptul de rezolvare a unei ecuații a fizicii matematice pe această bază. Cu toate acestea, N.M. Günther nu a conectat aceste idei cu analiza funcțională emergentă și mecanica cuantică. Ideile fundamentale bazate pe utilizarea spațiilor de funcții finite și un concept fundamental nou de derivată generalizată au fost formulate în 1935 de S. L. Sobolev [2] . Zece ani mai târziu, remarcabilul matematician francez L. Schwartz a venit singur la idei similare , bazându-se pe teoria spațiilor local convexe dezvoltată în acel moment și construind transformata Fourier a funcțiilor generalizate [3] . Sobolev și Schwartz sunt creatorii teoriei distribuțiilor - funcții generalizate. Funcțiile generalizate au fost folosite empiric de Dirac în cercetările sale asupra mecanicii cuantice [4] [5] .

Ulterior, teoria funcțiilor generalizate a fost dezvoltată intens de mulți matematicieni și fizicieni teoreticieni, în principal în legătură cu nevoile fizicii teoretice și matematice și teoria ecuațiilor diferențiale [6] .

Definiție

Formal, o funcție generalizată este definită ca o funcțională liniară continuă peste unul sau altul spațiu vectorial de „funcții” suficient de bune (așa-numitele funcții de bază ): [7] . $f$ $\left(f,\varphi \right)$ $\varphi$ $f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )$

Condiție de liniaritate: . $\left(f,\alpha _{{1}}\varphi _{{1}}+\alpha _{{2}}\varphi _{{2}}\right)=\alpha _{{1}} \left(f,\varphi _{{1}}\right)+\alpha _{{2}}\left(f,\varphi _{{2}}\right)$

Condiție de continuitate: dacă , atunci . $\varphi _{{\nu }}\rightarrow 0$ $\left(f,\varphi _{{\nu }}\right)\rightarrow 0$

Un exemplu important de spațiu de bază este un spațiu — o colecție de funcții finite pe , dotate cu o topologie care este firească pentru acesta: o secvență de funcții din converge dacă suporturile lor aparțin unei bile fixe și ele -converg în ea. $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$ $\mathbb {R} ^{n}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$

Spațiul dual k este spațiul funcțiilor generalizate . $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$

Convergența unei secvențe de funcții generalizate de la este definită ca convergența slabă a funcționalelor de la , adică la înseamnă că , pentru orice . $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{n}\la f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$

Pentru ca o funcțională liniară să fie o funcție generalizată, adică este necesar și suficient ca pentru orice mulțime deschisă mărginită să existe numere și astfel încât $f$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $f\în D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $K$ $m$

|(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{{C^{m}}}

pentru toată lumea cu un transportator în . $\varphi$ $\Omega$

Dacă numărul din inegalitate poate fi ales independent de , atunci funcția generalizată are o ordine finită; cel mai puțin așa se numește ordine . $m$ $\Omega$ $f$ $m$ $f$

Cele mai simple exemple de funcții generalizate sunt funcționalele generate de funcțiile însumabile local

(f,\;\varphi )=\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n))}f\varphi .

Funcțiile generalizate definite de funcții însumabile local conform acestei formule se numesc regulate ; restul funcţiilor generalizate se numesc singular . $f(x)$

Funcțiile generalizate, în general, nu au valori în puncte individuale. Cu toate acestea, putem vorbi despre coincidența unei funcții generalizate cu o funcție însumabilă local pe o mulțime deschisă : o funcție generalizată din coincide cu o funcție însumabilă local într- o funcție dacă $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $\Omega$ $f_{0}(x)$

(f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )

pentru toată lumea cu un transportator în . În special, la , obținem definiția că funcția generalizată dispare în interiorul . $\varphi$ $\Omega$ $f_{0}=0$ $f$ $\Omega$

Mulțimea punctelor din nici o vecinătate a cărora dispare funcția generalizată se numește suportul funcției generalizate și se notează cu . Dacă este compactă , atunci funcția generalizată se numește finită . $f$ $\operatorname {supp} f$ $\operatorname {supp} f$ $f$

Exemple

Orice măsură local finită definește o funcție generalizată $\mu$ $f_{\mu }$

(f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).

În special,

Un exemplu de funcție generalizată singulară în este funcția Dirac $\mathbb {R} ^{n}$ $\delta$

(\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).

Descrie densitatea masei 1 concentrată în punctul . -funcția are ordinea 1.

x=0

\delta

Suprafață -funcție. Să fie o suprafață netedă pe bucăți și să fie o funcție continuă pe . Funcția generalizată este definită de egalitate $\delta$ $S$ $\lambda$ $S$ $f_{{S,\;\lambda }}$

(f_{{S,\;\lambda }},\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .

Mai mult, este o funcție generalizată singulară. Această funcție generalizată descrie densitatea spațială a maselor sau sarcinilor concentrate pe o suprafață cu densitate de suprafață (densitatea unui strat simplu).

f_{{S,\;\lambda }}

S

\lambda

Funcție generalizată definită prin egalitate $\rho \in D'(\mathbb{R} )$

(\rho,\;\varphi)=\operatorname {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x))\ ,dx

(pentru funcțiile finite netede acestei integrale i se poate da un sens) funcția este singulară și ordinea ei este egală cu 2, dar pe o mulțime deschisă este regulată și coincide cu .

\rho

\mathbb{R} \backslash \{0\}

{\frac {1}{x))

Operațiuni

Operațiile liniare pe funcții generalizate sunt introduse ca o extensie a operațiilor corespunzătoare asupra funcțiilor de bază.

Modificarea variabilelor

Să fie și o schimbare lină de variabile. Funcția generalizată este definită de egalitate $f\în D'(\mathbb{R} ^{n})$ $A:\mathbb{R} ^{n}\la \mathbb{R} ^{n}$ $f\circ A$

(f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{{-1}}J(A)),

unde denotă jacobianul . Această formulă poate fi aplicată în special unei mapări liniare , vă permite să definiți funcții generalizate invariante translațional, simetrice sferice, simetrice central, omogene, periodice, invariante de Lorentz etc. $J(A)$ $A$ $A$

Opera de artă

Cel mai adesea, produsul funcțiilor generalizate și funcțiile obișnuite este determinat, în timp ce produsul funcțiilor generalizate rămâne nedefinit.

Lasă și . Produsul este definit de egalitate $f\în D'(\mathbb{R} ^{n})$ $a\în C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$ $af$

(af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).

De exemplu , . Pentru funcțiile obișnuite însumabile local, produsul coincide cu înmulțirea obișnuită a funcțiilor și . $a\delta =a(0)\delta$ $x\rho=1$ $af$ $f(x)$ $topor)$

Cu toate acestea, această operație de produs, în general vorbind, nu permite extinderea la nicio funcție generalizată, astfel încât să fie asociativă și comutativă .

Într-adevăr, altfel am obține o contradicție:

(x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,

(x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .

Cu toate acestea, este posibil să se definească înmulțirea oricăror funcții generalizate, dacă eliminăm cerința destul de strictă ca restrângerea acestei operații la mulțimea de funcții continue să coincidă cu produsul obișnuit. În special, Yu. M. Shirokov a construit o algebră necomutativă a funcțiilor generalizate [8] [9] . Astăzi, în Europa de Vest și America, foarte populară (vezi, de exemplu, lista lucrărilor citate în [10] ) este teoria funcțiilor Colombo generalizate (una dintre sursele primare a cărei este cartea [11] , pentru cunoașterea mult mai des folosită în practică așa-numita.n. „specială” algebră Colombo, vezi paragraful 8.5 din [12] ). În cadrul acestei teorii, funcțiile generalizate sunt clase de echivalență ale unor algebre coeficiente. Avantajul algebrei Colombo este că este atât asociativă, cât și comutativă. Înmulțirea funcțiilor Colombo generalizate coincide cu înmulțirea obișnuită când este restrânsă la mulțimea tuturor funcțiilor netede (adică infinit continuu diferențiabile), în timp ce inconsecvența cu înmulțirea funcțiilor continue (dar nu netede) se rezolvă prin introducerea noțiunii de asociere (mai puțin riguroasă decât noțiunea de echivalență). De asemenea, înmulțirea avută în vedere concordă perfect cu operațiile standard ale analizei clasice (de exemplu, diferențierea).

Diferențiere

Lasă . Derivata generalizata (slaba) a unei functii generalizate este definita de egalitate $f\în D'(\mathbb{R} ^{n})$ ${\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$ $f$

\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i))},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_ {i}}}\dreapta).

Deoarece operația este liniară și continuă de la până la , funcționala definită de partea dreaptă a egalității este o funcție generalizată. $\varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i))}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$

Proprietăți

Spațiul este complet : dacă șirul funcțiilor generalizate de la este astfel încât pentru orice funcție șirul numeric converge, atunci funcțional $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{i}$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{i},\;\varphi )$

(f,\;\varphi )=\lim _{{i\to \infty }}(f_{i},\;\varphi )

aparține .

D'(\mathbb{R} ^{n})

Fiecare dintre este o limită slabă de funcții din . Această proprietate este uneori luată ca punct de plecare pentru definirea unei funcții generalizate, din completitudinea spațiului funcțiilor generalizate aceasta duce la o definiție echivalentă. $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$
Orice funcție generalizată de la este infinit diferențiabilă (în sensul generalizat). $D'(\mathbb{R} ^{n})$
Diferențierea nu crește suportul funcției generalizate.
Pentru funcțiile generalizate, formula Leibniz de diferențiere a produsului este valabilă , unde . $af$ $a\în C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$
Orice funcție generalizată din sau este o derivată parțială a unei funcții continue în . $f$ $S'(\mathbb{R} ^{n})$ $E'(\mathbb{R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$
Pentru orice funcție de ordin generalizat cu suport în punctul 0, există o reprezentare unică sub forma unei combinații liniare de derivate parțiale la zero, cu un ordin mai mic sau egal cu . $f$ $N$ $(f,\;\varphi )$ $\varphi$ $N$

Exemple

Funcția delta se obține prin calcularea integralei Fourier a unei constante:

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{ipx}}\,dp=2\pi \delta (x).

Note

↑ Sobolev S.L., Smirnov V.I. Nikolai Maksimovici Gunther. Eseul bibliografic. - M .: GITTL , 1953. - S. 393-405 .
↑ Sobolev S.L. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les equations lineares hyperboliques normales // Mathematical collection, No. 1 (43)b 1936b 39-72
↑ Schwartz L. Theorie des distributions // I, II, Paris, 1950-1951
↑ Lutzen J. Preistoria teoriei distribuției. - New York etc: Springer Verlag , 1982. - 232 p.
↑ Dirac, P. A. M. Principiile mecanicii cuantice. - M .: Nauka, 1979. - S. 480.
↑ I.M. Gelfand, G.E. Shilov. Funcții și acțiuni generalizate asupra acestora (neopr.) .
↑ Shilov, G. E. Analiză matematică. Al doilea curs special. — M.: Nauka, 1965. — S. 16.
↑ Yu. M. Shirokov, Algebra funcțiilor generalizate unidimensionale. — Fizică teoretică și matematică . - 1979. - Volumul 39. - Nr. 3. - p. 291-301.
↑ G. K. Tolokonnikov, Yu. M. Shirokov, Algebra asociativă a funcțiilor generalizate, închisă sub diferențiere și antiderivată. — Fizică teoretică și matematică . - 1981. - Volumul 46. - Nr. 3. - p. 305-309., G. K. Tolokonnikov. Despre algebre Yu. M. Shirokov. I - Fizică teoretică şi matematică . - 1982. - Volumul 51. - Nr. 3. - p. 366-375.
↑ Colombeau JF Funcții generalizate neliniare: originea lor, unele evoluții și progrese recente. Revista Sao Paulo de Științe Matematice. −2013. - V. 7. - Nu. 2. - P. 201-239.
↑ Colombeau JF Introducere elementară în noile funcții generalizate. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 p. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Colombeau JF Înmulțirea distribuțiilor. Note de curs la matematică. 1532. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1992. - 195 p. — ISBN 3-540-56288-5 .

Vezi și

Controversa de șiruri