Grupul Grothendieck

Grupul Grothendieck este un concept abstract de algebră care are numeroase aplicații, inclusiv teoria reprezentării , geometria algebrică și teoria K. Numit după matematicianul francez Alexander Grothendieck , care a introdus conceptul la mijlocul anilor 1950.

Fie un monoid comutativ , adică un semigrup comutativ cu un element neutru . Să numim operația în plus . Grupul Grothendieck al unui monoid (notat de obicei sau ) este un grup abelian, care este (într-un anumit sens) o extensie a unui monoid la un grup, adică admite operația nu numai a sumei, ci și a diferenței dintre două elemente. $M$ $M$ $M$ $K$ $K_{0}$ $M$

Proprietate generică

Informal vorbind, grupul Grothendieck al unui monoid comutativ este o modalitate universală de a face un grup abelian dintr-un monoid, de a „grupa” un monoid.

Fie un monoid comutativ. Atunci grupul său Grothendieck trebuie să aibă următoarea proprietate universală : există un homomorfism monoid $M$ $K$

i\colon M\rightarrow K

astfel încât pentru orice homomorfism monoid

f\colon M\rightarrow A

la un grup abelian există un homomorfism unic al grupurilor abeliene $A$

g\colon K\rightarrow A

astfel încât

f=g\circ i.

În ceea ce privește teoria categoriilor , un functor care ia un monoid comutativ în grupul său Grothendieck este functorul adjunct stâng al unui functor uitător din categoria grupurilor abeliene la categoria monoizilor comutativi. $M$ $K$

Definiție explicită

Se consideră un produs cartezian ale cărui elemente sunt perechi , unde . Prin definiție, perechile corespund unor diferențe a căror adunare este dată de $M\times M$ $(a,b)$ $a,b\în M$ $(a,b)$ $ab$

(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').

Adunarea definită în acest fel are proprietățile de asociativitate și comutativitate (care decurg din proprietăți similare ale monoidului ). $M$

Pentru a defini grupul Grothendieck este necesar să se introducă o relaţie de echivalenţă pe mulţime , sub care elementele şi sunt echivalente , pentru care egalitatea $K$ $M\times M$ $(a,b)$ $(a',b')$

a+b'+c=a'+b+c

cu ceva element . Îndeplinirea proprietăților de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate este verificată trivial. În virtutea acestei definiții, clasa de echivalență a unui element include elemente pentru toate . Această clasă se numește diferența formală a elementelor și și se notează cu . $c\în M$ $(a,b)$ $(a+c,b+c)$ $c\în M$ $A$ $b$ $ab$

Ansamblul diferențelor formale (clasele de echivalență) definite în acest fel cu operația de adunare constituie grupul Grothendieck al monoidului . $K$ $M$

Elementul neutru (zero) al unui grup este o clasă de echivalență formată din perechi de forma pentru toate posibilele . Elementul opus elementului are forma (atât în primul, cât și în al doilea caz, sunt implicate clasele de echivalență corespunzătoare). $K$ $(a,a)$ $a \în M$ $(a,b)$ $(b,a)$

Există o încorporare naturală care ne permite să luăm în considerare o extensie a . Și anume, fiecărui element i se atribuie o diferență formală , adică. clasa de elemente pentru toate posibilele . $M\la K$ $K$ $M$ $a \în M$ $a-0$ $(a+c,c)$ $c\în M$

Exemple

Cel mai simplu exemplu de grup Grothendieck este construcția numerelor întregi din numere naturale. Mai întâi verificăm că numerele naturale cu adunare obișnuită formează într-adevăr un monoid comutativ. Acum, folosind construcția grupului Grothendieck, luați în considerare diferențele formale ale numerelor naturale cu relația de echivalență $(\mathbb {N} ,+)$ $nm$

nm\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.

Acum să definim

n:=[n-0],

-n:=[0-n]

pentru toată lumea . Această construcție definește numere întregi . $n \in \mathbb N$ $\mathbb {Z}$

Link -uri

Grupul Grothendieck Arhivat 14 mai 2011 la Wayback Machine pe PlanetMath .
Michael Atiyah . K-Theory, (Note luate de D. W. Anderson, toamna 1964), publicată în 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
Jonathan Rosenberg. Teoria K algebrică și aplicațiile sale, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3 .