Grupul de antisimetrie

Grupul de antisimetrie în teoria simetriei este un grup format din transformări care pot modifica nu numai poziția geometrică a unui obiect, ci și caracteristica sa cu două valori. O astfel de caracteristică cu două valori poate fi, de exemplu, sarcina (plus-minus), culoarea (alb-negru), semnul unei funcții reale, direcția de rotație (sus-jos).

Grupurile de antisimetrie sunt numite și grupuri de simetrie magnetică, precum și grupuri de simetrie alb-negru. Prin analogie cu aceste grupuri, sunt introduse grupuri de simetrie multicoloră (grupurile Belov, deoarece au fost propuse în lucrările academicianului N.V. Belov ), în care fiecare punct al obiectului nu mai este caracterizat printr-o valoare cu două valori, ci printr-un multi -parametru valoros (culoare).

Cuprins

Operații și elemente de antisimetrie

Pe lângă operațiile obișnuite de simetrie (rotație, reflexie, inversare, translație și combinațiile acestora), se adaugă operațiuni de antisimetrie - rotație cu schimbare de culoare (anti-rotație), reflexie cu schimbare de culoare (anti-reflexie), inversare cu schimbare de culoare ( anti-inversiune), traducere cu schimbare de culoare (antitraducere) și așa mai departe. În consecință, se poate vorbi de elemente de antisimetrie, care includ operații de antisimetrie.

Ar trebui să se țină cont și de operația care nu schimbă poziția obiectului, ci schimbă culoarea - operația de anti-identificare sau anti-identitate. Grupurile în care este prezentă o astfel de operație se numesc gri, deoarece părțile albe și negre ale obiectului coincid în fiecare punct din spațiu. Astfel de grupuri se obțin prin simpla adăugare a operației anti-identitate la grupul de simetrie clasică, iar numărul lor este egal cu numărul de grupuri de simetrie clasică. Grupurile de simetrie clasice în sine sunt, de asemenea, un caz special de grupuri de antisimetrie. De cel mai mare interes sunt grupurile care nu sunt gri și în care există atât elemente de simetrie, cât și elemente de antisimetrie (grupuri de polaritate mixtă). Elementele de antisimetrie din aceste grupuri pot fi doar de ordin par, deoarece elementele de antisimetrie de ordin impar conțin operația de antiidentificare. De exemplu, axa de antisimetrie 3 (ordinea 3) este imposibilă în aceste grupuri, dar axa de inversare 3 (ordinea 6) este posibilă.

Execuția secvențială a două operații de antisimetrie sau execuția de două ori a unei operații de antisimetrie schimbă semnul de două ori, adică, ca urmare, semnul nu se schimbă. Astfel, produsul a două operații de antisimetrie duce la operația clasică de simetrie. Prin urmare, nu există grupuri care să conțină doar elemente și operații de antisimetrie. Mai mult, numărul de operații de antisimetrie (dar nu de elemente) în grupurile de puncte de antisimetrie este egal cu numărul de operații de simetrie din grupurile clasice (monocrome).

Grupuri de puncte de antisimetrie

Deși conceptul de antisimetrie este aplicabil oricăror grupuri de puncte, de obicei se iau în considerare grupurile de puncte cristalografice de antisimetrie. Există un total de 58 de grupuri alb-negru, 32 de grupuri polare clasice și 32 de grupuri de gri neutre. În total, 122 de grupuri de puncte de antisimetrie. Mai jos este un tabel cu toate cele 122 de grupuri de puncte de antisimetrie cristalografice. De obicei, simbolurile Hermann-Mogen sunt folosite pentru a le reprezenta , cu elemente de antisimetrie marcate cu simbolul elementului de simetrie corespunzător cu o contur. Tabelul oferă abrevieri.