Grupul de simetrie a punctului cristalografic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un grup cristalografic de simetrie punctuală este un grup de simetrie punctuală care descrie macrosimetria unui cristal . Deoarece doar 1, 2, 3, 4 și 6 ordine de axe (rotație și rotație necorespunzătoare) sunt permise în cristale, doar 32 din întregul număr infinit de grupuri de simetrie punctuală sunt cristalografice.

Notație

Simbolismul lui Bravais

Este folosit în principal în scopuri educaționale și se rezumă la enumerarea tuturor elementelor unui grup de puncte. Axele de simetrie rotative sunt notate cu litera L cu un indice n corespunzător ordinii axei ( ) — , , , și . Axele inversate (o combinație de rotație cu inversare) sunt notate cu litera Ł cu un indice n corespunzător ordinii axelor ( Ł n ) - Ł 2 , Ł 3 , Ł 4 și Ł 6 . Axa de inversare de ordinul întâi (centrul de inversare) este notă cu simbolul C. Axa de inversare de ordinul doi este pur și simplu planul de simetrie și este de obicei notat cu simbolul P. Pentru a rafina orientarea planului în raport cu axa principală, pot fi utilizați diferiți indici, de exemplu || și ⊥. De exemplu, simbolul L 2 P ⊥ C desemnează un grup format dintr-o axă de ordinul doi și un plan perpendicular pe aceasta (și, ca urmare a interacțiunii lor, centrul de inversare), și simbolul L 2 2 P | | - un grup format dintr-o axă de ordinul doi și două plane paralele cu aceasta (deși în cazul numai a planurilor paralele, simbolul || este de obicei omis și va fi L 2 2 P ). Simbol L 4 4 L 2 4 P || P ⊥ C reprezintă un grup format dintr-o axă de ordinul al patrulea, patru axe de ordinul doi perpendiculare pe aceasta, patru plane paralele cu aceasta, unul perpendicular pe plan și centrul de inversare. $L_{n}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$ $L_{6}$

Simbolismul Schoenflies

Simbolismul Schoenflies se bazează pe clasificarea grupurilor de puncte pe familii și este utilizat pe scară largă pentru a desemna toate grupurile de puncte în general, și nu doar pe cele cristalografice.

O familie de grupuri cu o singură axă de rotație este notă cu litera latină C cu un index care indică ordinea axei. Cele cristalografice includ C 1 , C 2 , C 3 , C 4 şi C 6 .

Adunarea unui plan orizontal la grupele C n se notează cu indicele suplimentar h . Obținem grupele C 2h , C 3h , C 4h și C 6h .

Adunarea planelor verticale la grupele C n se notează cu indicele suplimentar v . Grupele C 2v , C 3v , C 4v și C 6v .

Deoarece nu există direcții speciale în grupul C 1 , planul adăugat nu poate fi caracterizat ca vertical sau orizontal. Un astfel de plan este notat cu indicele s . Astfel, simbolul unui grup format dintr-un plan de simetrie este C s ( germană spiegel - oglindă).

Grupurile cu axe de ordinul doi, perpendiculare pe axa principală, sunt notate cu litera D cu un index care arată ordinea axei principale de rotație. Cele cristalografice sunt D 2 , D 3 , D 4 şi D 6 .

Adăugarea unui plan orizontal la grupele D n se notează, ca și în cazul lui C n , printr-un indice suplimentar h . Grupurile sunt D 2h , D 3h , D 4h și D 6h .

Adăugarea de planuri verticale la grupurile D n este ambiguă, deoarece planurile pot fi situate atât între axele orizontale de ordinul doi și pot coincide cu acestea. În primul caz, se adaugă indicele d , indicând dispunerea în diagonală a planelor (diagonală între direcțiile axelor de ordinul doi). Se obţin grupele cristalografice D 2d şi D 3d . În grupele D nd , interacțiunea axelor orizontale de ordinul doi și a planurilor oglinzilor verticale duce la apariția unei axe oglinzi de ordinul 2n . Prin urmare, grupurile D 4d și D 6d nu sunt cristalografice, deoarece conțin axe în oglindă de ordinul 8 și, respectiv, 12. Adăugând la grupele D n planuri verticale de-a lungul axelor de ordinul doi se generează un plan orizontal de simetrie și se obțin grupurile D nh descrise mai sus.

Grupurile formate dintr-o axă oglindă sunt notate cu simbolul S n . Pentru n impar , axa oglinzii este echivalentă cu prezența unei axe de rotație de ordinul n și a unui plan perpendicular pe aceasta, adică grupul C nh , prin urmare, în grupurile S n , indicele n este întotdeauna par. Acestea includ S2 ( un grup format doar din centrul de inversare), S4 și S6 . Orice axă oglindă poate fi descrisă în același mod ca axa de inversare, prin urmare, o desemnare alternativă pentru aceste grupuri este Cni , unde n este ordinea axei de inversare. Se obţin C i = S 2 , C 4i = S 4 şi C 3i = S 6 .

Grupurile de puncte cristalografice în care există mai multe axe de ordin superior (adică mai mult de două ordine) sunt notate prin simbolurile T sau O , în funcție de axele de rotație prezente în ele. Indicii suplimentari h și d indică prezența planurilor de simetrie orizontale (și verticale) și diagonale. Dacă grupul conține doar axe de rotație de ordinul 2 și 3, atunci grupul este notat cu simbolul T (deoarece o astfel de combinație de axe de rotație este prezentă în tetraedru). Dacă grupul conține doar axe de rotație de ordine 2, 3 și 4, atunci grupul este notat cu simbolul O (deoarece o astfel de combinație de axe de rotație este prezentă în octaedru). Adunarea planurilor orizontale de simetrie duce la grupurile T h și O h ( O h este grupul de simetrie al cubului și octaedrului). Ambele grupuri conțin atât planuri orizontale, cât și planuri verticale. Adăugarea planelor diagonale la grupul T , duce la grupul T d (grupul de simetrie al tetraedrului). Grupul O d nu există, deoarece adăugarea planurilor diagonale la grupul O va duce la grupul de simetrie limită al unei bile care conține toate rotațiile și reflexiile posibile.

Notația Schoenflies este folosită în teoria grupurilor , fizică și cristalografie . În simbolismul Schoenflies, sunt folosite doar elemente de simetrie generativă (adică din care pot fi derivate toate celelalte elemente de simetrie ale grupului). Denumirile sunt invariante în ceea ce privește alegerea sistemului de coordonate, ceea ce este atât un avantaj atunci când suntem pur și simplu interesați de simetria sistemului, cât și un dezavantaj dacă orientarea elementelor de simetrie ale grupului de puncte este importantă în ceea ce privește alte obiecte, de exemplu, sistemul de coordonate cristalin, sau în raport cu axele grupului spațial rețelele Bravais . Prin urmare, simbolurile Hermann-Mogen sunt mai des folosite în cristalografie, în special pentru a descrie grupuri spațiale.

Simbolismul lui Hermann - Mogen (simbolism internațional)

Simbolul Herman-Mogen denotă elemente de simetrie neechivalente simetric. Axele rotative de simetrie sunt indicate cu cifre arabe - 1, 2, 3, 4 și 6. Axele de inversare sunt indicate prin cifre arabe cu o liniuță deasupra - 1 , 3 , 4 și 6 . În acest caz, axa 2 , care este pur și simplu un plan de simetrie, este notat cu simbolul m (oglindă engleză - oglindă). Direcția planului este direcția perpendiculară pe acesta (adică axa 2 ). Axele oglinzilor nu sunt folosite în simbolurile internaționale. Orientarea elementului în raport cu axele de coordonate este dată de poziția elementului în simbolul grupului. Dacă direcția axei de simetrie coincide cu direcția planului, atunci acestea sunt scrise în aceeași poziție ca o fracție. Dacă axa de inversare are o simetrie mai mare decât axa de rotație care coincide cu ea, atunci este indicată în simbol (adică se scrie nu , ci 6 ; dacă există un centru de inversare în grup, nu 3, ci 3 ). $\color {Negru}{\tfrac {3}{m}}$

Cea mai inferioară categorie este grupele de puncte, în care ordinea maximă a oricărei axe (rotație sau rotație necorespunzătoare) este egală cu două. Include grupurile 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 și . Dacă există trei poziții în simbolul grupului, atunci $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

pe poziția 1 - direcția de-a lungul axei X

în poziţia a 2-a - direcţia de-a lungul axei Y

în a 3-a poziție - direcția de-a lungul axei Z

Într-o instalare personalizată, grupul mm2 poate fi scris ca m2m sau ca 2mm. În mod similar, grupurile 2, m și pot fi scrise mai detaliat - indicând de-a lungul carei axe de coordonate se îndreaptă direcția axei și/sau a planului de ordinul doi. De exemplu, 11m, 1m1 sau m11. Această caracteristică a simbolismului este folosită pentru a descrie fără ambiguitate grupuri spațiale cu o alegere diferită a sistemului de coordonate, deoarece simbolurile grupurilor spațiale sunt derivate din simbolurile grupurilor lor de puncte corespunzătoare. $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$

Categoria de mijloc - grupuri de puncte în care există o axă de ordin peste două (axa de ordinul cel mai înalt). Aici trebuie remarcat faptul că cristalografia folosește un sistem de coordonate cristalografice asociat cu simetria cristalului. În acest sistem, axele selectează direcții speciale în cristal (direcțiile de-a lungul cărora merg axele de simetrie sau de translație). Prin urmare, în prezența unei axe de ordin 3 sau 6, unghiul [1] dintre direcțiile X și Y este de 120° și nu de 90° ca în sistemul de coordonate carteziene obișnuit .

în prima poziție - direcția axei principale, adică axa Z

în poziția a 2-a - o direcție laterală. Adică direcția de-a lungul axei X și a axei Y echivalente

în a 3-a poziție - o direcție diagonală între direcții laterale simetric echivalente

Această categorie include grupurile 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2, , , și . $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Deoarece axa 3 și planul perpendicular pe ea sunt echivalente cu axa 6 , atunci = 6 și m2 = 6 m2, dar se recomandă să folosiți notația cu axa inversată 6 , deoarece simetria acesteia este mai mare decât cea a celor 3 axa.Grupurile 4 2m si 6 m2 pot fi scrise ca 4 m2 si 6 2m. Mai sus au fost denumirile adoptate în literatura în limba rusă. Secvența simbolurilor 2 și m din aceste grupuri devine importantă atunci când se descriu grupuri spațiale derivate din ele, deoarece elementul din a doua poziție este îndreptat de-a lungul axei celulei Bravais, iar elementul din a treia poziție este direcționat de-a lungul diagonalei lui fata. De exemplu, simbolurile P 4 2m și P 4 m2 reprezintă două grupuri spațiale diferite. Grupul 32 poate fi, de asemenea, scris mai detaliat ca 321 sau 312 pentru orientări diferite ale axei 2. De asemenea, orientări diferite au ca rezultat două grupuri spațiale diferite P321 și P312. Același lucru este valabil și pentru grupurile 3m (înregistrări alternative 3m1 și 31m) și 3 (inregistrări alternative 3 1 și 3 1 ). $\color {Negru}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$

Cea mai înaltă categorie o reprezintă grupurile de puncte în care există mai multe axe de ordin superior.

pe poziția 1 - direcții echivalente X, Y, Z

în poziția a 2-a - prezente întotdeauna acolo patru axe 3 sau 3

în poziţia a 3-a - direcţia diagonală dintre axele de coordonate

Această categorie include cinci grupe - 23, 432, 3 , 4 3m și 3 $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$

Simbolurile internaționale sunt de obicei simplificate prin înlocuirea cu m dacă axa n este generată de alte elemente de simetrie indicate în simbol. Nu puteți elimina doar desemnarea axei principale din categoria de mijloc. De exemplu, ei scriu ca mmm, ca mm și 3 ca m 3 m. $\color {Negru}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$

Simbolurile lui Shubnikov

Simbolurile Shubnikov ocupă o poziție intermediară între simbolurile Schoenflies și simbolurile Hermann-Mogen. În aparență, sunt mai asemănătoare cu acestea din urmă, dar în sensul lor sunt mai aproape de simbolurile Schoenflies. La fel ca în simbolurile Herman-Mogen, axele sunt notate cu cifre arabe, iar planul cu simbolul m . Totuși, pentru a desemna axa de rotație necorespunzătoare, se alege axa oglinzii, și nu cea de inversare, ca în simbolul internațional. Axa oglinzii este indicată printr-o cifră arabă cu un semn tilde: o axă oglindă de ordinul 2 (la fel ca centrul de inversare 1 ), o axă oglindă de ordinul 4 (alias axa de inversare de ordinul 4 ) și o axă oglindă de ordinul 6 ( echivalent cu axa de inversare de ordinul trei 3 ). La fel ca în simbolurile Schoenflies, sunt notate doar elemente de simetrie generatoare. De exemplu, simbolul Shubnikov 4 : 2, precum și D 4 al lui Schoenflies , înseamnă că grupul este format dintr-o axă de ordinul 4 și o axă de ordinul 2 perpendiculară pe aceasta, în timp ce simbolul internațional 422 indică și prezența în grup. axe simetric neechivalente de ordinul doi. Direcția axelor laterale și a planurilor este indicată prin semnul : dacă sunt perpendiculare pe axa principală, • - dacă sunt paralele cu axa principală și / - dacă sunt înclinate față de axa principală. Acordați atenție denumirilor grupurilor și . La fel ca în simbolurile internaționale corespunzătoare 4 2m și 3 m, ele desemnează axele de rotație necorespunzătoare, în timp ce în simbolurile Schoenflies D 2d și D 3d sunt notate doar axele de rotație care fac parte din axele de rotație necorespunzătoare (axa 2 este inclusă). in iar axa 3 este inclusa in ). ${\tilde {2}}$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$ ${\tilde {4}}\cdot m$ ${\tilde {6}}\cdot m$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$

Notație orbifold

Notația orbifold a fost propusă de William Thurston și popularizată de John Conway . [2] [3] În principiu, a fost introdus pentru a descrie grupuri de simetrie pe suprafețe bidimensionale cu curbură constantă (de exemplu, 17 grupuri cristalografice bidimensionale pe un plan, grupuri de simetrie pe un plan hiperbolic, grupuri de simetrie pe o sferă) , dar deoarece grupurile de simetrie pe o sferă sunt grupuri de puncte tridimensionale echivalente, aceste notații pot fi folosite și pentru acestea din urmă. Aici semnificația notării orbifold este explicată în descrierea grupurilor de puncte tridimensionale.

Ca și în sistemul internațional, prezența axelor de simetrie este indicată prin cifre arabe, iar ambele denumiri indică nu numai elemente generatoare, ci și elemente neechivalente simetric. Aici, totuși, există o ușoară diferență - în sistemul orbifold, nu sunt notate doar axe de simetrie neechivalente, ci și direcții neechivalente. Fiecare axă are două direcții ("sus și jos" pentru verticală sau "stânga și dreapta" pentru orizontală). De exemplu, în grupurile cu o singură axă ( C n conform Schoenflies), aceste direcții nu sunt echivalente, astfel încât astfel de grupuri sunt notate ca nn. Grupurile cristalografice includ grupurile 11, 22, 33, 44 și 66. În grupurile cu axe de ordinul 2 perpendiculare pe axa principală ( D n conform Schoenflies), axele de ordinul 2 „întorc” axa principală cu 180 de grade, făcând astfel ambele direcțiile sunt echivalente. Cu toate acestea, există două tipuri de direcții de ordinul 2 în astfel de grupuri, astfel încât grupurile sunt notate ca n22. Ordinea numerelor nu este importantă, este importantă doar poziția lor în raport cu simbolul planului de simetrie (dacă este prezent în grup), ceea ce va fi discutat mai jos. Grupele 222, 322, 422 și 622 vor fi cristalografice (se pot scrie și 222, 223, 224 și 226). Este interesant să comparăm aceste simboluri cu simbolurile internaționale corespunzătoare 222, 32, 422 și 622. În grupurile cu o axă principală de ordin egal, există două clase de axe orizontale simetric neechivalente de ordinul al 2-lea (prin urmare, două 2s). în simbolul internațional), dar pentru fiecare dintre axe, ambele direcții sunt echivalente. În grupurile cu o axă principală de ordin impar, toate axele de ordinul 2 sunt echivalente (prin urmare, simbolul internațional este 32, nu 322), dar direcțiile „stânga” și „dreapta” ale acestor axe orizontale sunt diferite, deci obținem totuși două clase de direcții simetric neechivalente de ordinul 2, iar în notația orbifold obținem 322 (522, 722 etc.).

Prezența unuia sau mai multor planuri de simetrie într-un grup este indicată printr-un singur asterisc *. În plus, dacă simbolul axei este situat în dreapta asteriscului, atunci planurile de simetrie trec prin axă (n planuri prin axa de ordinul a n-a), dacă numărul este situat în stânga asteriscului, atunci planurile nu trec prin axă. De exemplu, în grupul *332 ( T d după Schoenflies), avioanele trec prin toate axele, iar în grupul 3 * 2 ( T h după Schoenflies) avioanele trec doar prin axele de ordinul 2, dar nu prin axele de ordinul 3.

Încă câteva exemple:

În grupurile cu un plan de simetrie perpendicular pe axa principală de simetrie ( C nh după Schoenflies), ambele direcții ale axei devin echivalente și grupurile sunt notate cu simbolul n*. Grupele cristalografice vor fi 2*, 3*, 4* și 6*. Dacă planul de simetrie trece prin axa ( C nv conform Schoenflies), atunci, așa cum sa menționat mai sus, asteriscul este plasat la stânga numărului și obținem grupurile *22, *33, *44, *66 . Numerele se dublează din nou, deoarece direcțiile axei principale ("sus și jos") sunt din nou neechivalente.

Nu numai planurile de simetrie pot traduce părți ale unei figuri (fragmente ale unui motiv) în cele simetrice în oglindă. De exemplu, astfel de elemente includ oglindă și axele de inversare. Pentru grupurile cristalografice bidimensionale de pe un plan, un astfel de element este o reflexie ras (adică o reflexie cu o deplasare simultană de-a lungul liniei de reflexie). Prezența unui astfel de element într-un grup este indicată de pictograma x („miracol” conform lui Conway). Această pictogramă este folosită numai dacă acțiunea elementului nu poate fi reprezentată în niciun fel ca o combinație a altor elemente din simbolul grupului. În cazul grupurilor de puncte tridimensionale, aceasta se referă la grupuri formate dintr-o singură axă oglindă de ordin par, S 2 = Ci , S 4 și S 6 . Acestea vor fi etichetate 1x, 2x și, respectiv, 3x.

Notația lui Coxeter

Inițial, Coxeter a folosit aceste notații pentru grupuri formate dintr-un set de planuri de simetrie. Când două plane de simetrie se intersectează la un unghi de grade, se formează o axă de simetrie de ordinul al n-lea și se obține un grup de puncte C nv , care va fi notat cu [n]. Dacă un grup este generat de trei planuri, atunci simbolul grupului este format din două cifre [n, m], unde din nou fiecare cifră denotă ordinea axei de rotație formată la intersecția planurilor. Aceste grupuri includ grupele D nh , care vor fi notate ca [n,2], precum și grupurile de simetrie ale poliedrelor regulate T h ( tetraedru ), O h ( cub ) și I h ( icosaedru ), care vor fi notată ca [3,3 ], [4,3] și [5,3]. Grupurile de simetrie rămase pot fi considerate subgrupuri ale celor descrise mai sus, iar pentru a le descrie, notația Coxeter a fost completată cu semnul +. Dacă + este în spatele parantezelor pătrate, atunci planurile de simetrie sunt eliminate din întregul grup și rămâne doar complexul axial al grupului. De exemplu, [3,3] + , [4,3] + și [5,3] + denotă grupurile T , O și I . Dacă + este în paranteze deasupra unuia dintre numere, atunci cele două planuri de simetrie generatoare corespunzătoare sunt eliminate (dar axa generată de ele rămâne) și alte elemente ale grupului dispar odată cu ele. În ambele cazuri, ordinea grupului este înjumătățită. Grupurile de tip [n + ,m + ] sunt intersecția grupurilor [n + ,m] și [n, m + ], adică constau din elemente de simetrie care sunt prezente în ambele grupuri originale. Ordinea grupului [n + ,m + ] este de patru ori mai mică decât ordinea grupului [n, m]. Grupurile de puncte de acest tip au întotdeauna forma [2n + ,2 + ] și corespund simbolurilor S 2n Schoenflies. $\color {Negru}{\tfrac {180}{n}}$

Să explicăm notația folosind exemplul de grupuri cu o axă de ordinul al patrulea. Când două plane se intersectează la un unghi de 45°, se formează o axă de ordinul 4 și grupul rezultat este C 4v (simbol internațional 4mm), care va fi notat ca [4]. Când se adaugă încă un plan de simetrie, care este perpendicular pe ambele planuri de simetrie, se formează grupul D 4h ( ), care este notat ca [4,2]. Dacă eliminăm planurile de simetrie din grupul [4] (dar părăsim axa de simetrie generată de acestea), atunci obținem grupul C 4 (simbol internațional 4), notat cu [4] + . Dacă eliminăm toate planurile de simetrie din grupul [4,2], atunci obținem grupul D 4 (422), notat cu [4,2] + . $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Grupul [4 + ,2] desemnează grupul [4,2], în care planurile verticale de simetrie, care au dat naștere axei de ordinul 4, au fost îndepărtate, în timp ce axa de ordinul 4 a rămas însăși, iar planul orizontal de asemenea. a ramas. Dar axele orizontale de ordinul doi au dispărut. Grupul rezultat este C4h ( ) . Din acest exemplu, puteți vedea că + deasupra uneia dintre cifre „ucide” axa de simetrie corespunzătoare cifrei adiacente. $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$

Grupul [4,2 + ] desemnează grupul [4,2] în care au fost îndepărtate planul orizontal și unul dintre generatoarele verticale. Astfel, axele orizontale de ordinul 2 au rămas parțial, dar axa de ordinul 4 a dispărut. Grupul rezultat este format din două axe orizontale de ordinul al 2-lea și două plane verticale care se desfășoară între ele. Acesta este grupul D 2d ( 4 2m).

În cele din urmă, grupul [4 + ,2 + ] este intersecția grupurilor [4 + ,2] și [4,2 + ] și este pur și simplu axa oglindă de ordinul 4 S 4 ( 4 ) care este prezentă în ambele grupuri și 4 2m. $\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$

Comparația diferitelor notații pentru grupuri de puncte

Categorie	Singonie	Sistem de cristal	Herman-Mogen (simbol complet)	Herman Mogen (prescurtat)	Simboluri Shubnikov	Simboluri Schoenflies	Simboluri curajoase	Orbifold	Coxeter	Comanda de grup
Inferior	Triclinica		unu	unu	$unu\$	C1 _	L1 _	unsprezece	[ ] +	unu
	Triclinica		unu	unu	${\tilde {2}}$	C i \u003d S 2	C = l 1	X	[2 + ,2 + ]	2
	Monoclinic		2	2	$2\$	C2 _	L2 _	22	[2] +	2
			m	m	$m\$	C s = C 1h	P = 2 £	*	[ ]	2
			$\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C 2h	L 2 P ⊥ C	2*	[ 2,2+ ]	patru
	Rombic		222	222	$2:2\$	D2 = V	3L2 _ _	222	[2,2] +	patru
			mm2	mm2	$2\cdot m\$	C 2v	L22P _ _ _	*22	[2]	patru
			$\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	hmmm	$m\cdot 2:m\$	D2h _	3 L 2 3 buc	*222	[2,2]	opt
Mediu	tetragonală		patru	patru	$patru\$	C4 _	L 4	44	[4] +	patru
			patru	patru	${\tilde {4}}$	S4 _	L 4	2x	[2 + ,4 + ]	patru
			$\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C4h _	L 4 P ⊥ C	patru*	[ 2,4+ ]	opt
			422	422	$4:2\$	D4 _	L 4 4 L 2	422	[4,2] +	opt
			4mm	4mm	$4\cdot m\$	C4v _	L44P _ _ _	*44	[patru]	opt
			42m _	42m _	${\tilde {4}}\cdot m$	D2d _	L 4 2 L 2 2 P	2*2	[2 + ,4]	opt
			$\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mmm	$m\cdot 4:m\$	D4h _	L 4 4 L 2 4 P \|\| P ⊥ C	*422	[4,2]	16
	Hexagonal	Trigonală	3	3	$3\$	C3 _	L 3	33	[3] +	3
			3	3	${\tilde {6}}$	S6 = C3i _	3 £ = L 3 C	3x	[2 + ,6 + ]	6
			32	32	$3:2\$	D3 _	L 3 3 L 2	322	[3,2] +	6
			3m	3m	$3\cdot m\$	C 3v	L 3 3 P	*33	[3]	6
			3 $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$	3 m	${\tilde {6}}\cdot m$	D3d _	Ł 3 3 L 2 3 P = L 3 3 L 2 3 buc	2*3	[2 + ,6]	12
		Hexagonal	6	6	$6\$	C6 _	L 6	66	[6] +	6
			6	6	$3:m\$	C 3h	L 3 P ⊥ = Ł 6	3*	[ 2,3+ ]	6
			$\color {Negru}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C6h _	L 6 P ⊥ C	6*	[ 2,6+ ]	12
			622	622	$6:2\$	D6 _	L 6 6 L 2	622	[6,2] +	12
			6 mm	6 mm	$6\cdot m\$	C6v _	L66P _ _ _	*66	[6]	12
			6 m2	6 m2	$m\cdot 3:m\$	D3h _	L 3 3 L 2 3 P \|\| P ⊥ = Ł 6 3 L 2 3 P	*322	[3,2]	12
			$\color {Negru}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mmm	$m\cdot 6:m\$	D6h _	L 6 6 L 2 6 P \|\| P ⊥ C	*622	[6,2]	24
Superior	cub		23	23	$3/2\$	T	3 L 2 4 L 3	332	[3,3] +	12
			$\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m 3	${\tilde {6}}/2$	T h	3 L 2 4 L 3 3PC _	3*2	[3 + ,4]	24
			43m _	43m _	$3/{\tilde {4}}$	T d	3 £ 4 4 L 3 6 P	*332	[3,3]	24
			432	432	$3/4\$	O	3 L 4 4 L 3 6 L 2	432	[4,3] +	24
			$\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$	m 3 m	${\tilde {6}}/4$	O h	3 L 4 4 L 3 6 L 2 9 buc	*432	[4,3]	48

Imaginea grupurilor de puncte. Proiecții stereografice ale grupurilor de puncte

Planurile de simetrie sunt indicate prin linii duble, axele de rotație sunt indicate prin poligonul corespunzător (axele de ordinul doi sunt indicate printr-un oval), iar centrul de inversare este indicat printr-un cerc deschis. Axele de inversare ale ordinului al patrulea și al șaselea sunt indicate printr-un pătrat neumplut și un hexagon; în același timp, sunt desemnate și axele de ordinul doi și trei incluse în ele (axa 2 aparține lui 4 , axa 3 aparține lui 6 ).

Sistem de cristal	Proiecții stereografice [4]
Triclinica	1 , C1	1 , C i
Monoclinic	2 , C2	m , C s	$\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$ , C 2h
Rombic				222 , D2	mm2 , C2v _		$\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 2h
tetragonală	4 , C4	4 , S4 _	$\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$ , C 4h	422 , D4	4 mm , C 4v	4 2 m , D 2d	$\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 4h
Trigonală	3 , C3	3 , S6 _		32 , D3	3m , C 3v _	3 , D 3d $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$
Hexagonal	6 , C6	6 , C3h _	$\color {Negru}{\tfrac {6}{m}}$ , C 6h	622 , D6	6 mm , C 6v _	6m2 , D3h _ _	$\color {Negru}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 6h
cub	23, T		$\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$ 3 , T h	432, O		4 3 m , T d	$\color {Negru}{\tfrac {4}{m}}$ 3 , oh _ $\color {Negru}{\tfrac {2}{m}}$

Schema de conectare între grupuri de puncte

În această diagramă, grupurile sunt aranjate de la mai puțin simetrice (jos) la grupuri cu simetrie mai mare (sus). Grupuri de același ordin se află la aceeași înălțime. Fiecare grup de bază este un subgrup al grupului superior asociat cu acesta printr-o linie. Pentru ușurința percepției, liniile sunt date în culori diferite.

Istorie

Prima concluzie a tuturor celor 32 de grupuri de puncte cristalografice a fost dată în 1830 de Johann Hessel în tratatul său „Crystallometry or crystallonomy and crystallography, dezvoltat într-un mod original pe baza unei noi doctrine generale a figurilor propriu-zise, cu o trecere în revistă completă a celor mai lucrări și metode importante ale altor cristalografi”. Cu toate acestea, această derivare a grupurilor de puncte a trecut neobservată. Următoarea concluzie a fost dată de Auguste Bravais în 1849 în memoria sa An Inquiry into Polyhedra of Symmetrical Shape. Cu toate acestea, Bravais nu a ținut cont de axele de rotație necorespunzătoare (rotație-oglindă sau inversare) și, ca urmare, a omis grupul S 4 . Toate celelalte 31 de grupuri cristalografice pot fi derivate ca o combinație numai a axelor de simetrie, a planurilor de reflexie și a centrului de inversare. În cele din urmă, în 1867, Axel Gadolin în „Notele Societății Mineralogice din Petersburg” a publicat „Derivarea tuturor sistemelor cristalografice și a subdiviziunilor lor dintr-un început comun”. În lucrarea lui Gadolin s-a raportat pentru prima dată în mod explicit faptul că numărul de tipuri de simetrie pentru poliedre cristaline (adică grupuri de simetrie punctuală cristalografică) este de 32. În această lucrare, Gadolin a introdus conceptul de axă de inversare în ştiinţă. Tot în acest articol apar pentru prima dată proiecțiile stereografice ale grupurilor de 32 de puncte.

Vezi și

Note

↑ Vezi Legea constanței unghiurilor ( Stensen, Niels )
↑ Conway J., Smith D. Despre cuaternioni și octave, despre geometria, aritmetica și simetriile lor. M.: MTSNMO, 2009.
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008
↑ Stereographic projection , vezi, de exemplu, Symmetry of crystals - un articol din Physical Encyclopedia

Literatură

Sistem hexagonal // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Cristalografie geometrică, Universitatea de Stat din Moscova, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Cristalografie, Universitatea de Stat din Moscova, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Teoria simetriei cristalului, GEOS, 2000 (disponibil on-line )
P. M. Zorkiy. Simetria moleculelor și structurilor cristaline , Universitatea de Stat din Moscova, 1986 (disponibil online )
A. V. Şubnikov. Simetria și antisimetria figurilor finite, Editura Academiei de Științe a URSS, 1951
I. I. Shafranovsky. Istoria cristalografiei. Secolul XIX, L., „Nauka”, 1980