Inel de grup

Un inel de grup este un inel care este în același timp un modul liber care poate fi construit dintr-un inel dat și un grup dat . Informal vorbind, un inel de grup este un modul liber peste un inel a cărui bază este în corespondență bijectivă cu elementele grupului ; înmulțirea elementelor de bază este definită ca înmulțirea elementelor grupului, iar înmulțirea „se extinde de-a lungul liniaritate” la elementele rămase. $KG]$ $K,$ $g,$

Aparatul inelelor de grup este util în special în teoria reprezentării grupurilor .

Definiție

Să fie un inel și să fie un grup. Atunci un inel de grup este un set de sume formale finite de forma , care se adună și se înmulțesc după cum urmează: $K$ $G$ $KG]$ $\alpha =\sum _{{g\in G}}a_{g}g,\quad a_{g}\in K$

Dacă , atunci $\alpha =\sum _{{g\in G}}a_{g}g,\ \beta =\sum _{{g\in G}}b_{g}g$

\alpha +\beta =\sum _{{g\in G}}(a_{g}+b_{g})g

\alpha \cdot \beta =\sum _{{g\in G}}\left(\sum _{{xy=g, \atop x,y\in G}}a_{x}b_{y}\right )g

Proprietăți

Dacă și sunt comutative, atunci este comutativă. $K$ $G$ $KG]$
Dacă este un inel cu unitate, atunci este un inel cu unitate. $K$ $KG]$
Înglobarea în formează o bază a inelului de grup. $G$ $KG]$
Dacă este un subgrup de , atunci este un subinel al inelului . $H$ $G$ $K[H]$ $KG]$
Fie un câmp , atunci fiecare element poate fi asociat cu o transformare liniară a spațiului vectorial - înmulțire cu vectorul de bază corespunzător din stânga. Această mapare specifică reprezentarea obișnuită a grupului . $K$ $G$ $KG]$

Literatură

B.L. van der Waerden. Algebră. — M .: Nauka, 1976.
Naimark M. Teoria reprezentărilor grupurilor. — M .: Nauka, 1976.