Valoare redusă

Valoarea actualizată (prezentă, curentă) - o estimare a valorii (echivalentul curent în numerar) a fluxului viitor de plăți bazată pe valoarea diferită a banilor primite în diferite momente în timp ( conceptul de valoarea în timp a banilor ). O sumă de bani primită astăzi are de obicei o valoare mai mare decât aceeași sumă primită în viitor. Acest lucru se datorează faptului că banii primiți astăzi pot genera venituri în viitor după investiție. În plus, banii primiți în viitor în termeni de inflație se depreciază (pentru aceeași sumă în viitor puteți cumpăra o cantitate mai mică de bunuri și servicii). Există și alți factori care reduc costul plăților viitoare. Disparitatea diferitelor sume de bani este exprimată numeric în rata de actualizare .

Valoarea actualizată a unei sume viitoare este egală cu suma de bani pe care, dacă este investită acum (cu un randament egal cu rata de actualizare ), în viitor (în același timp) suma va fi primită . Valoarea actualizată a unui flux de plăți este egală cu suma valorilor actualizate ale plăților individuale incluse în acest flux. Este de fapt egal cu valoarea actualizată a valorii viitoare a fluxului de numerar (suma care va fi primită în viitor dacă fluxul de numerar este investit în momentul primirii plăților la rata de actualizare). $X$ $X$

Valoarea actuală este utilizată pe scară largă în economie și finanțe ca instrument de comparare a fluxurilor de plăți primite în momente diferite. Modelul valorii prezente vă permite să determinați cât de multă investiție financiară este dispus să facă un investitor pentru a primi un anumit flux de numerar. Valoarea actuală a fluxului viitor de plăți este o funcție a ratei de actualizare, care poate fi determinată în funcție de:

rentabilitatea investițiilor alternative;
costul atragerii (împrumutării) fondurilor;
inflatie ;
perioada după care se așteaptă fluxul viitor de plăți;
riscul asociat unui anumit flux viitor de plăți;
alti factori.

Valoarea actuală este utilizată ca bază pentru calcularea amortizarii împrumuturilor financiare.

Explicație practică

Valoarea banilor se schimbă în timp. 100 de ruble primite după cinci ani au o valoare diferită (în majoritatea cazurilor, mai mică) decât 100 de ruble disponibile. Fondurile disponibile pot fi investite într-un depozit bancar sau orice alt instrument de investiții, care va oferi venituri din dobânzi . Adică 100 de ruble. azi, da 100 de ruble. plus venitul din dobânzi după cinci ani. În plus, pentru cele 100 de ruble disponibile. poți cumpăra un produs care în cinci ani va avea un preț mai mare din cauza inflației. Prin urmare, 100 de ruble. peste cinci ani nu li se va permite să cumpere același produs. În acest exemplu, indicatorul de valoare redusă vă permite să calculați cât valorează astăzi 100 de ruble, care vor fi primite în cinci ani.

Acumularea dobânzii și reducerea

Lasă o anumită sumă de bani să fie investită la o rată pe unitatea de timp (zi, lună, trimestru, an). Se presupune că dobânda este acumulată și capitalizată în fiecare unitate de timp și efectiv reinvestită. Apoi, la un moment viitor , suma va fi primită , calculată folosind formula dobânzii compuse: $PV$ $i$ $t$ $FV_{t}$

FV_{t}=PV(1+i)^{t)

În consecință, dacă este dată o sumă de bani pentru un anumit moment viitor , este posibil să se calculeze suma care trebuie investită la o rată pentru a primi până în acest moment, după cum urmează: $FV_{t}$ $t$ $PV$ $i$ $FV_{t}$

PV=FV_{t}(1+i)^{-t}\,={\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}

Valoarea se numește valoarea actualizată (dată, curentă) a sumei viitoare , iar rata este rata de actualizare . Operația însăși de găsire a valorii prezente a sumei viitoare se numește actualizare . $PV$ $FV_{t}$ $i$

În cazul general, suma poate fi redusă la orice moment în timp (nu numai la cel curent):

$PV_{t_{0}}={\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t-t_{0}}}}$

Aducerea unor sume diferite la același moment în timp le face comparabile (echivalente) în ceea ce privește conceptul de valoare în timp a banilor . Se presupune că este posibil să se investească orice sumă în orice moment într-un instrument (de exemplu, un depozit bancar) cu un randament de . Natura instrumentului nu este semnificativă, contează doar rentabilitatea la riscuri comparabile. Dacă inflația este folosită ca valoare, acestea sunt investiții în bunuri și servicii care devin din ce în ce mai scumpe. Poate fi costul atragerii (împrumutării) banilor. $i$ $i$ $i$

Exemplu

Dacă după 1 an se așteaptă suma de 121 de ruble, atunci la o rată de actualizare de 10% pe an, valoarea actualizată va fi egală cu ruble. Dacă aceeași sumă este așteptată numai după doi ani, atunci valoarea actuală este Rs. $121/(1+0{,}1)=110$ $121/(1+0{,}1)^{2}=121/1{,}21=100$

În foile de calcul, funcțiile financiare includ o funcție pentru a calcula valoarea actuală. OpenOffice.org Calc folosește funcția PV pentru a calcula valoarea actuală a diferitelor tipuri de plăți.

Valoarea actualizată a fluxurilor de numerar

Fluxul de numerar

Fluxul de numerar este mișcarea de numerar distribuită în timp. În multe cazuri (depozite, împrumuturi, valori mobiliare etc.), fluxul de numerar este un set ordonat în timp de sume de bani (plăți) - acesta este așa-numitul flux de numerar discret sau flux de plăți . Astfel, fluxul de plăți , unde este plata efectuată la momentul , . În acest caz, formal, n poate fi și infinit (un flux infinit de plăți). Dacă plățile sunt efectuate la intervale regulate, atunci uneori un astfel de flux de plăți se numește chirie financiară. O anuitate cu o plată constantă se numește anuitate (în unele surse, anuitate financiară și anuitate sunt concepte echivalente). $CF=(CF_{1},CF_{2},.....,CF_{n})$ $CF_{k)$ $t_k$ $k=1..n$

În unele cazuri, frecvența plăților poate fi atât de mare încât fluxul de numerar poate fi considerat continuu . În special, acesta este cazul fluxurilor de numerar din activitățile operaționale obișnuite ale companiilor, fluxurilor din proiecte de investiții etc. Formal, pentru fluxurile continue, se poate introduce funcția de densitate a fluxului . Cu toate acestea, în practică, timpul continuu este înlocuit cu timpul discret. Și anume, perioada analizată este împărțită în perioade egale (lună, trimestru, an) și fiecare perioadă primește un număr secvențial (acesta este un timp discret). Apoi, fluxul de numerar pentru fiecare astfel de perioadă este de fapt o plată la un moment discret de timp corespunzător acestei perioade. Astfel, fluxul continuu este redus, mai precis modelat ca un flux discret (flux de plată) descris mai sus. Adesea, acest lucru este interpretat și ca plăți efectuate la sfârșitul perioadei relevante - acesta este așa-numitul flux postnumerando . În unele cazuri, fluxurile sunt tratate ca plăți la începutul fiecărei perioade - fluxul prenumerando . $c(t)$ $CF_{t)$

Astfel, putem presupune că fluxul de numerar CF este dat întotdeauna de un set ordonat de sume de bani - elemente ale fluxului de numerar (plăți). $CF_{t)$

Valoarea actuală a fluxului de plată

Valoarea actualizată a fluxului de plăți , unde este plata efectuată la momentul respectiv , este egală cu suma valorilor actualizate ale fiecăreia dintre componentele fluxului: $CF=(CF_{1},CF_{2},.....,CF_{n})$ $CF_{k)$ $t_k$ $k=1..n$

PV=\sum _{k=1}^{n}{{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}\,}

Derivarea formulei

Fluxul de plăți va fi împărțit în primul și restul . Să notăm valoarea fluxului de numerar rezidual redus la momentul primei plăți . Sumele și se referă la același moment în timp și pot fi reduse la momentul curent prin împărțirea la $CF_{1}$ $(CF_{2},CF_{3},....)$ $PV_{1}^{*}$ $CF_{1}$ $PV_{1}^{*}$ $(1+i)^{t_{1}}$

$PV_{0}={\frac {CF_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}}+{\frac {PV_{1}^{*}}{(1+ i)^{t_{1}}}}}$

În mod similar, putem împărți fluxul rezidual într-o plată și fluxul rămas după și obține $CF_{2}$ $t_{2}$

$PV_{1}^{*}={\frac {CF_{2}}{(1+i)^{t_{2}-t_{1}}}}+{\frac {PV_{2} ^{*}}{(1+i)^{t_{2}-t_{1}}}}$

Înlocuind aceasta în prima formulă, obținem

$PV_{0}={\frac {CF_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}}+{\frac {CF_{2}}{(1+i)^{ t_{2))))+{\frac {PV_{2}^{*}}{(1+i)^{t_{2}}}}$

Procedând în mod similar și mai departe până la ultima plată, obținem în sfârșit formula pentru valoarea actualizată a întregului flux de numerar

$PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}$

Interpretare

La investirea sumei pentru perioada până la pariu , suma va fi primită în cele din urmă: $PV$ $t>=t_{n)$ $i$

$FV=PV*(1+i)^{t}=\sum _{k=1}^{n}CF_{k}(1+i)^{t-t_{k))$

Astfel, această sumă este egală cu suma care va fi primită în același moment dacă elementele individuale ale fluxului sunt investite succesiv la aceeași rată până la momentul t. Astfel, valoarea actuală a fluxului de numerar este egală cu valoarea actuală a sumei acumulate a acestui flux.

Dacă plățile sunt efectuate la intervale regulate, atunci formula poate fi scrisă fără un index suplimentar de numerotare a plăților . Ora și va reprezenta pur și simplu numărul de plată: $k$ $t$

PV=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+i)^{t)))

De remarcat faptul că în aceste formule timpul se măsoară în unități din perioada ratei de actualizare i . De obicei, rata este dată anual, iar timpul poate fi dat în zile, luni, trimestre etc. În acest caz, raportul dintre timp în unități date și durata anului în aceleași unități ar trebui utilizat ca timp (de exemplu , dacă plata este datorată într-un trimestru, atunci este de 0,25 ani). Dacă plățile sunt efectuate la intervale regulate, puteți recalcula rata pentru această perioadă folosind formula dobânzii compuse: , unde T este durata anului în unități din această perioadă (de exemplu, pentru o plată lunară este 12, pentru un plata trimestrială este 4 etc.). $i'=(1+i)^{1/T}-1$

Exemplu

Există o obligațiune cu o valoare nominală de 1000 de ruble cu o scadență de 1 an și un cupon trimestrial de 20 de ruble, care corespunde unei rate ale cuponului de 8% pe an (20 x 4 / 1000 = 0,08). Proprietarul obligațiunii primește 20 de ruble în primele trei trimestre și 20 de ruble și suma de răscumpărare în al patrulea trimestru. Astfel, structura plăților este următoarea: 20 + 20 + 20 + 1020. Perioadele dintre plăți sunt egale.

Acum să reducem acest flux de plăți. Să presupunem că rata de actualizare este de 6,14% pe an (de exemplu, aceasta este inflația așteptată sau rata fără risc de 5,5% plus o primă de risc de 0,64% pentru instrumentele cu acest risc - o cifră condiționată de exemplu). Puteți calcula rata trimestrială deoarece obținem aproximativ 1,5% pe trimestru. Astfel, valoarea actuală a acestui flux de plăți la o rată trimestrială de 1,5% va fi egală cu $1{,}0614^{1/4}-1$

${\frac {20}{1{,}015}}+{\frac {20}{1{,}015^{2}}}+{\frac {20}{1{,}015^ {3}}}+{\frac {1020}{1{,}015^{4}}}=19{,}704+19{,}413+19{,}126+960{,}995=1019 {,}24$

Același lucru poate fi calculat direct prin rata anuală, fără a calcula rata trimestrială, dar folosind timpul ca fracțiuni de an:

${\frac {20}{1{,}0614^{0{,}25}}}+{\frac {20}{1{,}0614^{0{,}5}}}+{ \frac {20}{1{,}0614^{0{,}75}}}+{\frac {1020}{1{,}0614}}=1019{,}24$

Valoarea actuală a anumitor fluxuri de numerar

Valoarea actuală a unei rente

Dacă fluxul de plăți este anuitate , adică plățile au aceeași valoare și sunt plătite la intervale regulate, atunci această formulă ia forma (pe baza formulei binecunoscute pentru suma unei progresii geometrice):

PV\,=\,{\frac {CF}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\,= \,CF\cdot {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}

unde se face plata unei anuități o singură dată; — rata de actualizare ; — valoarea actualizată a plăților de anuitate . $CF$ $n$ $i$ $PV$ $CF$

Valoarea actualizată a anuităților perpetue ( perpetuities )

Pentru o anuitate perpetuă, adică cu un infinit de mare , expresia dintre paranteze drepte din formula pentru valoarea actualizată a anuității devine egală cu unu, deci formula este și mai simplificată: $n$

PV\,=\,{\frac {CF}{i)}

Valoarea redusă a plăților cu o rată de creștere constantă

Dacă plățile cresc cu o rată de creștere constantă g, atunci valoarea lor actualizată este calculată prin formula:

PV\,=\,{CF_{1} \over ig}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]

unde este plata efectuată în prima perioadă, este numărul de perioade, este rata de actualizare . $CF_{1}$ $n$ $i$

În limita (pentru n infinit mare) la , se obține următoarea formulă simplă ( modele Gordon ) : $g<i$

PV\,=\,{CF_{1} \over ig)

Concepte înrudite

Valoarea actuală netă (VAN) sau valoarea actuală netă (prezentă, curentă) (Valoarea actuală netă, VAN) este valoarea actuală a venitului viitor dintr -un proiect de investiții minus valoarea (recuperată) a investițiilor în proiect. Caracterizează eficacitatea proiectului de investiții și este unul dintre criteriile de selectare a proiectelor de investiții.

Vezi și

Perioada de rambursare redusă

Note

Literatură

Shiryaev A. N. Fundamentele matematicii financiare stocastice. - M . : FAZIS, 1998. - T. 1. Fapte. Modele. — 512 p. — ISBN 5-7036-0043-X .

Dicționare și enciclopedii	Un norvegian grozav Britannica (online)