Transformarea Abel discretă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Transformarea Abel discretă este următoarea identitate:

\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},

unde , sunt secvențe , while și . Această transformare a fost numită după matematicianul norvegian Niels Henrik Abel . În analiza matematică , este folosit în demonstrarea testului de convergenţă Dirichlet . $n\geqslant m\geqslant 1$ $(a_{k}),(b_{k}),(B_{k})$ $(k\in \mathbb {N} )$ ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k))$ $B_{0}=0$

Transformarea Abel este omologul discret al integrării pe părți și este uneori numită însumare pe părți .

Dovada

Avem

{\begin{aliniat}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{ k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{ k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1} a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _ {k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m} B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}

Q.E.D.