Integrare pe părți

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 aprilie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Integrarea pe părți  este o modalitate de a găsi integrala . Esența metodei este următoarea: dacă integrandul poate fi reprezentat ca un produs a două funcții continue și netede (fiecare dintre acestea poate fi atât o funcție elementară , cât și o compoziție ), atunci următoarele egalități sunt adevărate

pentru integrala nedefinită

sau într-o altă intrare

pentru o integrală definită

Se presupune că găsirea integralei este mai ușoară decât . În caz contrar, aplicarea metodei nu este justificată.

Obținerea formulelor

Pentru integrala nehotărâtă

Funcționează și sunt netede , prin urmare diferențierea este posibilă :

Aceste funcții sunt, de asemenea, continue, așa că puteți lua integrala ambelor părți ale ecuației:

Operația de integrare este inversa diferențierii:

După permutări:

Totuși, nu trebuie uitat că această egalitate este înțeleasă în sensul egalității mulțimilor, adică, în linii mari, până la o constantă care apare în timpul integrării .

O greșeală tipică de a „pierde” o constantă atunci când se manipulează o integrală nedefinită este ilustrată de următorul exemplu de sofism :

De aici „consecința”: , care este evident falsă.

Pentru o integrală definită

În general, este similar cu cazul unei integrale nedefinite:

Aceste formule sunt valabile dacă fiecare dintre funcții și este diferențiabilă continuu pe domeniul integrării.

Integrare tabelară pe părți

Procesul principal al formulei de mai sus poate fi rezumat într-un tabel.

De exemplu, luați în considerare integrala

și ia

Începem să enumeram în coloana D funcția și derivatele ei ulterioare până se obține 0. Apoi, listăm funcția și antiderivatele ulterioare în coloana I până când dimensiunea coloanei I este aceeași ca în coloana D . Rezultatul arată astfel:

# i Semn D: derivate u ( i ) I: integralele v ( n − i )
0 +
unu
2 +
3
patru +

Produsul valorilor din rândul i al coloanelor D și I , împreună cu semnul lor corespunzător, dă integralele corespunzătoare la pasul i în timpul etapelor repetate de integrare pe părți. Pasul i = 0 poartă integrala originală. pentru rezultatul complet din pasul i > 0, integrala i -a trebuie adăugată la produsele anterioare ( 0 ≤ j < i ) ale valorii j -a a coloanei D și ( j + 1) --a valoare a coloanei I (adică, înmulțiți a 1-a valoare a coloanei D cu a 2-a valoare a coloanei I, a 2-a valoare a coloanei D la a 3-a valoare a coloanei I etc...) fără a uita caracterul j --lea. Procesul se termină atunci când produsul care poartă integrala ia valoarea 0 ( i = 4 în exemplul nostru). Rezultatul final este următorul: (inclusiv personaje diferite în fiecare segment):

În cele din urmă:

Exemple

Astfel, o integrală este exprimată în termenii alteia: Rezolvând sistemul rezultat, obținem:

Caz multidimensional

Există o generalizare a formulei de integrare pe părți pentru funcțiile mai multor variabile. În acest caz, în loc de interval, se consideră un submult , iar în loc de derivată, se consideră o derivată parțială .

Fie o submulțime deschisă mărginită cu graniță netedă pe bucăți . Dacă și sunt funcții netede pe închidere , atunci

unde este normala exterioară la , și este coordonata sa i, i de la 1 la n, este măsura pe .

Vezi și

Literatură

Vezi și Calcul#Bibliografie .

Link -uri