Integrarea pe părți este o modalitate de a găsi integrala . Esența metodei este următoarea: dacă integrandul poate fi reprezentat ca un produs a două funcții continue și netede (fiecare dintre acestea poate fi atât o funcție elementară , cât și o compoziție ), atunci următoarele egalități sunt adevărate
pentru integrala nedefinităsau într-o altă intrare
pentru o integrală definităSe presupune că găsirea integralei este mai ușoară decât . În caz contrar, aplicarea metodei nu este justificată.
Funcționează și sunt netede , prin urmare diferențierea este posibilă :
Aceste funcții sunt, de asemenea, continue, așa că puteți lua integrala ambelor părți ale ecuației:
Operația de integrare este inversa diferențierii:
După permutări:
Totuși, nu trebuie uitat că această egalitate este înțeleasă în sensul egalității mulțimilor, adică, în linii mari, până la o constantă care apare în timpul integrării .
O greșeală tipică de a „pierde” o constantă atunci când se manipulează o integrală nedefinită este ilustrată de următorul exemplu de sofism :
De aici „consecința”: , care este evident falsă.
În general, este similar cu cazul unei integrale nedefinite:
Aceste formule sunt valabile dacă fiecare dintre funcții și este diferențiabilă continuu pe domeniul integrării.
Procesul principal al formulei de mai sus poate fi rezumat într-un tabel.
De exemplu, luați în considerare integrala
și iaÎncepem să enumeram în coloana D funcția și derivatele ei ulterioare până se obține 0. Apoi, listăm funcția și antiderivatele ulterioare în coloana I până când dimensiunea coloanei I este aceeași ca în coloana D . Rezultatul arată astfel:
# i | Semn | D: derivate u ( i ) | I: integralele v ( n − i ) |
---|---|---|---|
0 | + | ||
unu | − | ||
2 | + | ||
3 | − | ||
patru | + |
Produsul valorilor din rândul i al coloanelor D și I , împreună cu semnul lor corespunzător, dă integralele corespunzătoare la pasul i în timpul etapelor repetate de integrare pe părți. Pasul i = 0 poartă integrala originală. pentru rezultatul complet din pasul i > 0, integrala i -a trebuie adăugată la produsele anterioare ( 0 ≤ j < i ) ale valorii j -a a coloanei D și ( j + 1) --a valoare a coloanei I (adică, înmulțiți a 1-a valoare a coloanei D cu a 2-a valoare a coloanei I, a 2-a valoare a coloanei D la a 3-a valoare a coloanei I etc...) fără a uita caracterul j --lea. Procesul se termină atunci când produsul care poartă integrala ia valoarea 0 ( i = 4 în exemplul nostru). Rezultatul final este următorul: (inclusiv personaje diferite în fiecare segment):
În cele din urmă:
Există o generalizare a formulei de integrare pe părți pentru funcțiile mai multor variabile. În acest caz, în loc de interval, se consideră un submult , iar în loc de derivată, se consideră o derivată parțială .
Fie o submulțime deschisă mărginită cu graniță netedă pe bucăți . Dacă și sunt funcții netede pe închidere , atunci
unde este normala exterioară la , și este coordonata sa i, i de la 1 la n, este măsura pe .
Vezi și Calcul#Bibliografie .
Dicționare și enciclopedii |
---|