Parametrizare naturală

Parametrizare naturală (sau parametrizare naturală ) - parametrizarea unei curbe după lungimea arcului său. Adică, lungimea arcului de curbă, măsurată dintr-un punct fix O , care poate fi ales arbitrar, servește ca parametru. Un astfel de parametru se numește natural (deseori notat cu s ).

Astfel, parametrizarea naturală a curbei este definită unic până la alegerea punctului de referință O (corespunzător valorii zero a parametrului natural) și a orientării, adică alegerea direcției în care parametrul crește odată cu distanța de la O.

Definiție

O curbă într-un spațiu metric este prevăzută cu o parametrizare naturală dacă pentru oricare două valori ale parametrului și lungimea arcului este egală cu . $\gamma$ $A$ $b$ $\gamma |_{[a,b]}$ $|ba|$

Proprietăți

O curbă admite o parametrizare naturală dacă și numai dacă este rectificabilă local .
O parametrizare naturală a unei curbe diferențiabile în timp (analitică) fără puncte singulare este, de asemenea , diferențiabilă în timp (analitică). $k$ $k$
Derivata vectorului rază are lungimea unitară și, prin urmare, coincide cu vectorul tangent unitar , care se notează ${\frac {d\mathbf {r} {ds)}$ $\mathbf {v} .$
A doua derivată a vectorului rază este ortogonală cu primul, adică ortogonală cu tangenta la curbă într-un punct dat și, prin urmare, este o normală. În plus, de-a lungul lungimii coincide cu curbura curbei și în direcție - cu normala sa principală . ${\frac {d^{2}\mathbf {r} {ds^{2}}}={\frac {d\mathbf {v} }{ds}}$ $k$ $\mathbf {n}$
Pentru o curbă într-un plan, proprietățile de mai sus conduc la următoarele relații, numite formule Frenet :

{\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\,\mathbf {n} ,\ \ \ {\frac {d\mathbf {n} {ds}}=-k\ ,\mathbf {v} .

Prima dintre relațiile lui Frenet rezultă în mod evident din proprietatea anterioară și din definiția curburii . Pentru a demonstra a doua relație, folosim identitățile

k

\langle \mathbf {n} (s), \mathbf {n} (s) \rangle \equiv 1,\ \ \ \langle \mathbf {n} (s), \mathbf {v} (s) \rangle \equiv 0,

unde parantezele triunghiulare denotă produsul scalar al planului euclidian ambiental. Diferențiând față de prima identitate, obținem sensul că vectorul este paralel cu vectorul , adică cu un coeficient scalar . Diferențiând a doua identitate, obținem Substituind aici și , obținem Prin urmare, ținând cont de , obținem ceea ce se cerea a fi demonstrat.