Parametrizare naturală
Parametrizare naturală (sau parametrizare naturală ) - parametrizarea unei curbe după lungimea arcului său. Adică, lungimea arcului de curbă, măsurată dintr-un punct fix O , care poate fi ales arbitrar, servește ca parametru. Un astfel de parametru se numește natural (deseori notat cu s ).
Astfel, parametrizarea naturală a curbei este definită unic până la alegerea punctului de referință O (corespunzător valorii zero a parametrului natural) și a orientării, adică alegerea direcției în care parametrul crește
odată cu distanța de la O.
Definiție
O curbă într-un spațiu metric este prevăzută cu o parametrizare naturală dacă pentru oricare două valori ale parametrului și lungimea arcului este egală cu .
Proprietăți
- O curbă admite o parametrizare naturală dacă și numai dacă este rectificabilă local .
- O parametrizare naturală a unei curbe diferențiabile în timp (analitică) fără puncte singulare este, de asemenea , diferențiabilă în timp (analitică).
- Derivata vectorului rază are lungimea unitară și, prin urmare, coincide cu vectorul tangent unitar , care se notează
- A doua derivată a vectorului rază este ortogonală cu primul, adică ortogonală cu tangenta la curbă într-un punct dat și, prin urmare, este o normală. În plus, de-a lungul lungimii coincide cu curbura curbei și în direcție - cu normala sa principală .
- Pentru o curbă într-un plan, proprietățile de mai sus conduc la următoarele relații, numite formule Frenet :
Prima dintre relațiile lui Frenet rezultă în mod evident din proprietatea anterioară și din definiția curburii . Pentru a demonstra a doua relație, folosim identitățile
unde parantezele triunghiulare denotă produsul scalar al planului euclidian ambiental. Diferențiând față de prima identitate, obținem sensul că vectorul este paralel cu vectorul , adică cu un coeficient scalar . Diferențiând a doua identitate, obținem Substituind aici și , obținem Prin urmare, ținând cont de , obținem ceea ce se cerea a fi demonstrat.
Vezi și
Literatură
- Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Un curs de geometrie metrică. - Moscova-Ijevsk, Institutul de Cercetare în Calculatoare, 2004.
- Mishchenko A.S. Fomenko A.T. Curs de geometrie diferenţială şi topologie. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0442-X .
- Toponogov V.A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Link -uri