Linie tangentă

O linie tangentă este o linie dreaptă care trece printr-un punct al curbei și coincide cu acesta în acest punct până la primul ordin.

Definiție strictă

Fie ca funcția să fie definită într-o vecinătate a punctului și să fie diferențiabilă în ea: . Linia tangentă la graficul unei funcții într-un punct este graficul unei funcții liniare , dat de ecuație $f\colon U(x_{0})\subset {\mathbb {R}}\la {\mathbb {R}}$ $x_{0}\în {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in {\mathbb {R))$ .
Dacă o funcție are o derivată infinită într-un punct, atunci linia tangentă în acest punct este linia verticală dată de ecuație $f$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ $x=x_{0}.$

Notă

Rezultă direct din definiție că graficul dreptei tangente trece prin punctul . Unghiul dintre tangenta la curbă și axa x satisface ecuația $(x_{0},f(x_{0}))$ $\alfa$

\operatorname {tg}\,\alpha =f'(x_{0})=k,

unde denotă tangenta și este coeficientul de pantă al tangentei. Derivata într-un punct este egală cu panta tangentei la graficul funcției în acel punct. $\operatorname {tg}$ $\operatorname {k}$ $x_{0}$ $y = f(x)$

Tangenta ca pozitie limitatoare a unei secante

Fie și Apoi dreapta care trece prin puncte și este dată de ecuație $f\colon U(x_{0})\to \mathbb{R}$ $x_{1}\în U(x_{0}).$ $(x_{0},f(x_{0}))$ $(x_{1},f(x_{1}))$

y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}) .

Această dreaptă trece prin punctul pentru oricare și panta ei satisface ecuația $(x_{0},f(x_{0}))$ $x_{1}\în U(x_{0}),$ $\alpha (x_{1})$

\operatorname {tg}\,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

În virtutea existenței derivatei funcției în punctul , trecând la limita de la se obține că există o limită $f$ $x_0,$ $x_{1}\la x_{0},$

\lim \limits _{{x_{1}\to x_{0}}}\operatorname {tg}\,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),

iar datorită continuităţii arc-tangentei şi unghiului limitator

\alpha =\operatorname {arctg}\,f'(x_{0}).

O dreaptă care trece printr-un punct și care are un unghi limitativ de panta care satisface este dată de ecuația tangentei: $(x_{0},f(x_{0}))$ $\operatorname {tg}\,\alpha =f'(x_{0}),$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Tangenta la cerc

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc și se află în același plan cu acesta se numește tangentă la cerc .

Proprietăți

Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.
Segmentele tangentelor la cerc desenate dintr-un punct sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care trece prin acest punct și centrul cercului.
Lungimea segmentului tangentei trasat la un cerc de rază unitară, luată între punctul de tangență și punctul de intersecție al tangentei cu raza trasă din centrul cercului, este tangenta unghiului dintre această rază. și direcția de la centrul cercului până la punctul de tangență. „Tangens” din lat. tangens - „tangentă”.

Variații și generalizări

Semitangente unilaterale

Dacă există o derivată dreaptă, atunci semitangenta dreaptă la graficul funcției într-un punct se numește rază $f'_{+}(x_{0})<\infty ,$ $f$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.

Dacă există o derivată stângă, atunci semitangenta stângă la graficul funcției într-un punct se numește rază $f'_{-}(x_{0})<\infty ,$ $f$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.

Dacă există o derivată dreaptă infinită, atunci semitangenta dreaptă la graficul funcției într-un punct se numește rază $f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $f$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).

Dacă există o derivată stângă infinită, atunci semitangenta dreaptă la graficul funcției în punct se numește rază $f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $f$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).

Vezi și

Literatură

Toponogov VA Geometrie diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Tangent // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.