Legea lui Betz

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 decembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Legea Betz definește puterea maximă a unui generator eolian pentru o anumită viteză a vântului și zonă a rotorului. Descoperit în 1919 de către fizicianul german Albert Betz . Conform acestei legi, un generator eolian nu poate prelua mai mult de 59,3% din puterea fluxului de aer care cade pe el [1] .

Explicație elementară

Energia produsă de un generator eolian depinde de masa de aer care a trecut prin acesta (numită debit) și de ponderea puterii luate din fluxul de aer, care se exprimă în încetinirea fluxului atunci când acesta trece prin rotor. Să luăm în considerare două cazuri extreme:

Dacă rotorul preia 100% din puterea din flux, atunci debitul se va opri, în timp ce debitul va fi zero și puterea ieșită de generatorul eolian va fi, de asemenea, zero.
Dacă rotorul preia 0% din puterea fluxului, atunci debitul va fi maxim, dar și energia de ieșire va fi zero.

Astfel, cel mai bun mod de funcționare al oricărui vetogenerator se află la mijloc între aceste două cazuri extreme. Legea lui Betz exprimă matematic acest mod de eficiență maximă. El susține că randamentul maxim, egal cu 16/27 (59,3%), se realizează atunci când aerul care trece prin rotor este încetinit cu un factor de trei [2] [3] .

Trei descoperiri independente ale limitei de eficiență a unei turbine

Omul de știință britanic Frederick Lanchester a calculat eficiența unei turbine în 1915. Omul de știință rus, fondatorul aerodinamicii ca știință, Nikolai Yegorovich Jukovsky , a publicat același rezultat pe o turbină eoliană ideală în 1920, în același an cu Betz. [4] Acesta este un prim exemplu al legii lui Stigler .

Derivarea formulei

Limita Betz reprezintă energia maximă posibilă pe care un flux de aer cu o anumită viteză o poate transfera unui rotor infinit de subțire [5] .

Pentru a calcula eficiența teoretică maximă a unui rotor subțire (de exemplu, o moară de vânt ), înlocuim rotorul cu un disc care preia energie din fluxul care trece prin el. După ce a trecut prin disc, curgerea își pierde o parte din viteza [5] .

Ipoteze

Rotorul nu are butuc și este ideal, cu un număr infinit de pale care nu au nicio rezistență.
Curgerea are o direcție strict axială. Întregul flux care cade pe disc trece complet prin el și iese din spate.
Fluxul este incompresibil. Densitatea rămâne constantă, nu există transfer de căldură.
Forța pe disc sau rotor este uniformă.

Aplicarea legii conservării masei (ecuația de continuitate)

Aplicând la volumul de aer care trece prin rotor, legea conservării masei , obținem o expresie pentru debitul masic (masa de aer care trece prin rotor pe unitatea de timp):

{\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},

unde este viteza curgerii în fața rotorului; - viteza curgerii in spatele rotorului;, - viteza pe dispozitivul hidraulic; - densitatea aerului ; este aria rotorului; și - secțiunea transversală a fluxului de aer care cade pe rotor și părăsește acesta. $v_{1}$ $v_{2}$ $v$ $\rho$ $S$ $A_{1}$ $A_{2}$

Astfel, produsul densității, secțiunii transversale a curgerii și vitezei trebuie să fie același în fiecare dintre cele trei zone: înainte de rotor, la trecerea prin rotor și după.

Forța care acționează asupra fluxului de aer din partea rotorului este egală cu masa de aer înmulțită cu accelerația acestuia. În termeni de densitate, secțiune transversală și debit, aceasta poate fi scrisă ca

{\begin{aligned}F&=ma=m{\frac {dv}{dt}}={\dot {m}}\,\Delta v=\rho Sv(v_{1}-v_{2 }).\end{aliniat}}

Putere și muncă

Lucrul efectuat de o forță poate fi scris sub formă diferențială ca

dE=F\,dx,

apoi puterea fluxului de aer

P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.

Înlocuind expresia obținută anterior pentru forță, obținem $F$

P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).

Pe de altă parte, puterea poate fi calculată ca pierderea de energie de către fluxul de aer pe unitatea de timp:

P={\frac {\Delta E}{\Delta t))={\tfrac {1}{2)}{\dot {m))(v_{1}^{2}-v_{2 }^{2}).

Înlocuind expresia găsită mai devreme din condiția de continuitate, obținem ${\punct m}$

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).

Echivalează ambele expresii una cu cealaltă:

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1} -v_{2}).

Reducem factorii comuni și transformăm expresia rezultată:

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=v(v_{1}-v_{2});

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2});

v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).

Astfel, debitul de aer în rotor este egal cu media aritmetică a vitezelor înainte și după acesta.

Legea lui Betz și eficiență

Să revenim la expresia puterii în termeni de energie cinetică :

{\dot {E}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}^{3}+v_{1}^{2}v_{2}-v_{1}v_{2}^{ 2}-v_{2}^{3})

={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right) )-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right) )^{3}\dreapta).

Diferențiând ultima expresie în raport cu la constantele , și echivalând expresia rezultată cu zero, aflăm că are un extremum (maximum) la . ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}$ $v_{1}$ $S$ $\punct E$ ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}$

Înlocuind acest rezultat în expresia pentru putere, obținem

P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Scriem ultima expresie ca

P=C_{\text{p}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Puterea totală a fluxului de aer cu secțiune transversală și viteză este egală cu $S$ $v_{1}$

P_{\text{vânt}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Astfel, acesta este „ factorul de putere ” [6] , care arată ce cotă maximă din puterea debitului incident este luată de rotorul generatorului eolian. Este egală , adică eficiența generatorului eolian nu poate depăși 59,3%. $C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}$ $C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}=0,593$

Turbinele eoliene mari moderne ating valori de 0,45 ... 0,50 [7] , adică 75–85% din valoarea maximă posibilă. La viteze mari ale vântului, când turbina funcționează la puterea nominală, unghiul palelor este mărit, scăzând astfel α pentru a evita deteriorarea rotorului. Cu o creștere a vitezei vântului de la 12,5 la 25 m/s, puterea vântului crește de 8 ori, respectiv, cu un vânt de 25 m/s, aceasta trebuie redusă la 0,06. $C_{\text{p)}$ $C_{\text{p)}$ $C_{\text{p)}$

Vezi și

Putere eoliana

Note

↑ Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines . (D. G. Randall, Trad.) Oxford: Pergamon Press.
↑ Wind Turbines - Betz Law Explained (engleză) (link nu este disponibil) . Programul de informare în fizică și astronomie de la Universitatea British Columbia (Brittany Tymos 2009-06-11) (18 mai 2010). Data accesului: 9 decembrie 2015. Arhivat din original pe 28 septembrie 2015.
↑ Peter F. Pelz. Limită superioară pentru hidroenergie într-un flux cu canal deschis . REVISTA DE INGINERIE HIDRAULICĂ Vol. 137, nr. 11 (noiembrie 2011). - „Acest optim este atins atunci când vântul este decelerat la 1=3 din viteza sa în amonte de turbina eoliană și la 2=3 în planul turbinei eoliene”. Preluat: 9 decembrie 2015. (nedefinit)
↑ Gijs AM van Kuik, The Lanchester-Betz-Joukowsky Limit Arhivat 9 iunie 2011 la Wayback Machine , Wind Energ. 2007; 10:289-291
↑ 1 2 Manwell, JF Wind Energy Explained: Theory, Design and Application / JF Manwell, JG McGowan, AL Rogers. — Chichester, West Sussex, Marea Britanie: John Wiley & Sons Ltd., februarie 2012. — P. 92–96 . — ISBN 9780470015001 .
↑ „Asociația Daneză a Industriei Eoliene” . Arhivat din original la 31 octombrie 2009.
↑ „Enercon E-family, 330 Kw to 7.5 Mw, Wind Turbine Specification” Arhivat 16 mai 2011 la Wayback Machine .

Link -uri

Martin Kaltschmitt, Wolfgang Streicher, Andreas Wiese. Energie regenerabilă : tehnologie, economie și mediu . - Springer, 2007. - ISBN 978-3-540-70947-3 .
Gorban, Alexander N., Alexander M. Gorlov și Valentin M. Silantyev, „Limitele eficienței turbinei pentru curgerea liberă a fluidului”. / Journal of Energy Resources Technology 123.4 (2001): 311-317.
Teoria conversiei energiei eoliene, Ecuația Betz , M. Ragheb , 2014