Spațiu măsurabil

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 august 2011; verificările necesită 14 modificări .

Un spațiu măsurabil este o pereche , unde este o mulțime și este o algebră a submulțimii sale. [unu] $(X,{\mathfrak {A}})$ $X$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$

Informații de bază

Un spațiu topologic măsurabil este un spațiu măsurabil în care o algebră este aleasă generată de o bază de mulțimi din spațiul topologic X. Algebra minimă care conține toate mulțimile deschise se numește algebra Borel a spațiului X; în acest caz, mulțimile se numesc Borel . $(X,{\mathfrak {A}})$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ $\sigma$ $A\in {\mathfrak {A}}$

Un spațiu măsurabil se numește separabil dacă există un sistem numărabil de mulțimi care separă punctele spațiului și generează algebra corespunzătoare . Se spune că un sistem de mulţimi , separă punctele spaţiului , dacă pentru oricare există mulţimi disjunctive astfel încât . $(X,{\mathfrak {A}})$ ${\mathfrak {C}}$ $X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {C}}$ $X$ $x_{1},x_{2}\in X$ $A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {C)}$ $x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2}$

Produsul spațiilor măsurabile este spațiul măsurabil , , în care - algebra , este generată de produsul - algebrelor și , i.e. este generată de un semi-inel al tuturor mulțimilor dreptunghiulare posibile de forma , unde , . $(X_{1},{\mathfrak {A}}_{1})$ $(X_{2},{\mathfrak {A}}_{2})$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=X_{1}\x_{2}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}_{1}$ ${\mathfrak {A}}_{2}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}_{1}\times {\mathfrak {A}}_{2}$ $A_{1}\times A_{2}$ $A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1}$ $A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}$

Fie un spațiu măsurabil și un set finit de indici . Un spațiu măsurabil , unde este - un produs multiplu al spațiului în sine și - algebra este - un produs multiplu al algebrelor corespunzătoare , se numește spațiu de coordonate măsurabil . Punctele acestui spațiu sunt date prin coordonate . Dacă o mulțime arbitrară, atunci spațiul de coordonate este definit ca colecția tuturor funcțiilor din mulțime cu valori în spațiu (valorile individuale pot fi interpretate ca coordonatele unui punct aparținând spațiului ). $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t=1,...,n.$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=E^{T}$ $n$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}^{T}$ $n$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $x={x(1),...,x(n))$ $X=E^{T}$ $x(t),t\in T$ $T$ $X=E^{T}$ $x=x(t)$ $T$ $E$ $x(t)$ $x=x(t)$ $X=E^{T}$

Fie puncte arbitrare ale mulțimii , unde este un număr finit și sunt submulțimi arbitrare ale spațiului . Multă natură $t_{1},...,t_{n}$ $T$ $n$ $B_{1},...,B_{n)$ $E$

{x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n))

apartinand spatiului se numeste multime cilindrica in . Cu alte cuvinte, mulțimea cilindrică este formată din acele și numai acele puncte ale căror coordonate sunt incluse în seturile corespunzătoare . Sistemul tuturor mulțimilor cilindrice, pentru care sunt incluse în -algebra spațiului , este un semiinel . Un spațiu de coordonate măsurabil este un spațiu cu o algebră generată de un semiinel . $X$ $X=E^{T}$ $x=x(t)$ $x(t_{1}),...,x(t_{n})$ $B_{1},...,B_{n)$ $B_{1},...,B_{n)$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $E$ ${\mathfrak {B}}^{T}$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=E^{T}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}^{T}$

Fie , o algebră generată de un semiel al tuturor mulțimilor cilindrice posibile cu indici arbitrari . Dacă un punct din spațiu este inclus în mulțimea de la și un alt punct este astfel încât coordonatele corespunzătoare ale acestor puncte sunt aceleași: pentru toate , atunci este inclus și în . Orice mulțime A din - algebră aparține simultan unui - algebră , unde - este o mulțime numărabilă (în funcție, în general, de mulțimea S luată în considerare). ${\mathfrak {A}}(S)$ $S\subseteq T$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}^{S}$ $t_{1},...,t_{n}\in S$ $x'=x'(t)$ $X=E^{T}$ $A$ ${\mathfrak {A}}(S)$ $x''=x''(t)$ $x'(t)=x''(t)$ $t\in S$ $x''=x''(t)$ $A$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(T)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(S)$ $S$

Fie o funcție pe un spațiu măsurabil cu valori într-un spațiu arbitrar . Mulțimea tuturor mulțimilor astfel încât imaginile inverse să fie în -algebra unui spațiu este o -algebră. $\phi =\phi (x)$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $Y$ ${\mathfrak {B}}_{\phi }$ $B\subseteq Y$ $\{\phi \in B\}=\phi ^{-1}(B)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $\sigma$

Fie un spațiu arbitrar și să fie o funcție pe cu valori într-un spațiu măsurabil . Mulțimea tuturor mulțimilor care sunt preimagini din - algebra : este - algebră. $X$ $\phi =\phi (x)$ $X$ $(Y,{\mathfrak {B}})$ ${\mathfrak {A}}^{\phi }$ $A\subseteq X$ $B$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $A=\{\phi \in B\}$ $\sigma$

Fie , să fie spații măsurabile. O funcție se numește ( ) măsurabilă dacă pentru preimagine este inclusă în -algebră . Dacă un sistem de mulțimi generează -algebră , atunci funcția este măsurabilă dacă și numai dacă pentru oricare intră preimaginea . $(X,{\mathfrak {A}})$ $(Y,{\mathfrak {B}})$ $\phi =\phi (x)$ ${\mathfrak {A},{\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $A=\{\phi \in B\}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {C}}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $\phi$ $B\in {\mathfrak {C}}$ $\{\phi \in B\}$ ${\mathfrak {A}}$

Notă

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. , Rozanov Yu. A. Teoria probabilității (Concepte de bază. Teoreme limită. Procese aleatoare) - M .: Ediția principală de literatură fizică și matematică, Editura Nauka, 1973. - 496 pagini.