Sigma Algebra

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 mai 2020; verificarea necesită 1 editare .

σ-algebra ( sigma-algebra ) este o algebră de mulțimi care este închisă sub operația uniunii numărabile. Algebrele Sigma joacă un rol crucial în teoria măsurării Lebesgue și integrale , precum și în teoria probabilității .

Definiție

O familie de submulțimi ale unei mulțimi se numește σ-algebră dacă îndeplinește următoarele proprietăți [1] : ${\mathfrak {S}}$ $X$

${\mathfrak {S}}$ conţine un set şi un set gol Ø. $X$
Dacă , atunci complementul său . $E\în {\mathfrak {S}}$ $X\backslash E\in {\mathfrak {S}}$
Unirea sau intersecția unei subfamilii numărabile din aparține ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$

Explicații

Pentru că $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=X\backslash \left(\bigcup _{n=1}^{\infty}(X\backslash A_{n})\ dreapta),$

la punctul 3 este suficient să se ceară ca doar intersecția sau numai uniunea să aparțină .

{\mathfrak {S}}

Pentru orice sistem de setări, există cea mai mică sigma-algebră , care este supersetul său . $\mathcal{S}$ $\sigma ({\mathcal {S}})$
Algebrele Sigma sunt un domeniu natural pentru măsuri aditive numărătoare . Dacă o măsură este definită parțial (pe o familie de mulțimi ) în așa fel încât condiția sigma-aditivitate (un sinonim pentru aditivitate numărabilă) este îndeplinită, această măsură parțială are o extensie unică la , adică la cea mai mică sigma -algebra pe care o contine aceasta familie, si in acelasi timp proprietatea sigma-aditivitatii nu va fi sparta. $\mathcal{S}$ $\sigma ({\mathcal {S}})$
σ-algebra generată de variabila aleatoare este definită după cum urmează: $\xi :\,X\rightarrow {\mathbb {R}}$

\sigma (\xi )=\left\{\xi ^{{-1}}(B)\mid B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R}})\right\}

, unde este sigma-algebra Borel pe linia reală . Aceasta este cea mai mică sigma-algebră din spațiu , în raport cu care variabila aleatoare este încă măsurabilă. Aceeași construcție se aplică și în cazul în care nu se evidențiază deloc sigma-algebră pe spațiu, caz în care poate fi introdusă folosind o funcție și astfel dotarea spațiului cu structura unui spațiu măsurabil, astfel încât funcția să fie măsurabilă . .

{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )

X

\xi

X

\xi

X

\xi

Spațiu măsurabil

Un spațiu măsurabil este o pereche , unde este o mulțime și este o algebră sigma a submulțimii sale. $(X, \mathcal F)$ $X$ ${\mathcal {F}}$

Exemple

Algebra sigma Borel
Pentru orice mulțime , există o σ-algebră trivială , unde este mulțimea goală. $X$ $\left\{X,\varnimic\right\}$ $\varnothing$
Pentru orice mulțime , există o σ-algebră care conține toate submulțimile sale. $X$

Note

↑ Yu.V. _

Literatură

Makarov BM Prelegeri despre analiză reală. - BHV-Petersburg, 2011. - ISBN 978-5-9775-0631-1 .