Kontsevici invariant

Invariantul Kontsevich , (sau integrala Kontsevich [1] ) este un invariant al unei legături încadrate orientate de un anumit tip. Este un invariant universal Vasiliev [2] în sensul că fiecare coeficient al invariantului Kontsevich este un invariant de tip finit și invers, orice invariant de tip finit poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unor astfel de coeficienți. Este o generalizare de anvergură a unei formule integrale simple pentru numărul de legătură [3] .

Invariantul a fost definit de Maxim Lvovich Kontsevich în 1992 în demonstrarea teoremei Vasiliev-Kontsevich.

Invariantul Kontsevich este un invariant cuantic universal în sensul că orice invariant cuantic poate fi obținut prin înlocuirea unui sistem de greutate adecvat în diagrama Jacobi .

Definiție

Invariantul Kontsevich este definit ca monodromia conexiunii Knizhnik-Zamolodchikov în plus față de unirea hiperplanelor diagonale în C n [4] .

Cea mai simplă integrală de tip Kontsevich

Să reprezentăm spațiul tridimensional ca un produs direct al unei linii complexe cu coordonata z și al unei linii reale cu coordonata t . Să încorporăm legătura în spațiu astfel încât coordonata t să fie o funcție Morse pe L . Aceasta înseamnă că în toate punctele în care t , în funcție de un parametru de pe curbă, are o derivată zero, derivata a doua a acesteia nu ar trebui să dispară, iar valorile lui t în toate aceste puncte (valori critice) ar trebui să fie diferite unele de altele. [5] . Se pare că numărul de legătură poate fi calculat apoi folosind următoarea formulă: $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $L=K\cup K'$ $\mathbb {R} ^{3}=z\times t$

lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{m}^{M}\sum _{j}{\varepsilon _{j}{\frac { d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}

Formula lui Kontsevich

Integrala Kontsevich (originală) a nodului K este următorul element al completării algebrei diagramelor de coarde [5] : ${\bar {\mathcal {A}}}$

Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m)}}\int _{t_{min}< t_{1}<\ldots <t_{m}<t_{max}}{\sum _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(- 1)^{\downarrow }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j }}}}}}

Pentru o explicație a acestei formule, consultați articolul lui S. V. Duzhin . Dacă notăm cu H un nod trivial a cărui încorporare în spațiu dă două maxime și două minime, obținem [6] :

I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2))}

unde c este numărul de puncte critice ale funcției t pe K .

Se poate demonstra că integrala , în primul rând, converge pentru orice nod situat în spațiu în modul indicat mai sus și, în al doilea rând, nu se schimbă pentru izotopiile netede ale nodului, pentru care se păstrează numărul de puncte critice ale funcției t . Deoarece nodul este o curbă închisă, punctele critice pot apărea și dispărea doar în perechi. $Z(K)$

$I(K)$ se numește integrala finală Kontsevich

Integrala Kontsevich este un obiect destul de complex și, timp de câțiva ani, nimeni nu a fost capabil să calculeze integrala Kontsevich finală chiar și pentru un nod banal. Se cunoșteau doar coeficienții pentru unele diagrame de coarde într-o sumă infinită.

În 1997, a apărut conjectura lui D. Bar-Nathan și colab .[7] (demonstrată în 1998 [8] ) că [9]

I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty {b_{2n}w_{2n)}

aici O este un non-nod (cerc) echivalent cu H, sunt numere Bernoulli modificate și sunt roți , i.e. diagrame sub formă de cerc cu segmente radiale. Produsele de roți sunt înțelese ca o uniune disjunctă de diagrame, iar roțile în sine sunt interpretate ca combinații liniare ale diagramelor Feynman (vezi mai jos). $b_{2n)$ $w_{2n}$

Diagrama Jacobi

Diagrama Feynman și diagrama coardelor

O diagramă Feynman de grad n este un graf trivalent conex cu 2n vârfuri, în care se distinge un ciclu orientat, numit buclă Wilson [10] . Diagrama de acorduri este un caz special de diagrame Feynman (au toate vârfurile trivalente situate pe bucla Wilson). Gradul unei diagrame Feynman este jumătate din numărul total de vârfuri din grafic. O diagramă Feynman se numește conectată dacă graficul corespunzător rămâne conectat după eliminarea buclei Wilson [3] .

Definiție

Fie X un cerc (care este o varietate unidimensională și va servi ca buclă Wilson ). După cum se arată în figura din dreapta, diagrama Jacobi de ordinul n este un grafic cu 2n vârfuri, în care cercul exterior (bucla lui Wilson) este reprezentat printr-o linie continuă, iar liniile întrerupte se numesc graficul interior, care satisface urmatoarele conditii:

Direcția este indicată numai pe bucla exterioară.
Vârfurile cu valoarea 1 sau 3. Vârfurile cu valoarea 3 sunt conectate la una dintre celelalte (jumătăți) muchii în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic, așa cum este reprezentat de un cerc mic orientat.

Vârfurile cu valoarea 1 sunt numite adesea univalente, iar cele cu valoarea 3 sunt numite trivalente [11] . Vârfurile univalente sunt conectate la cercul exterior fără multiplicitate și ordonate după orientarea cercului. Diagrama Jacobi poate fi deconectată și este necesar ca fiecare componentă conectată să aibă cel puțin un vârf univalent [11] . Muchiile de pe G se numesc acorduri . Notăm cu A ( X ) spațiul coeficient al grupului comutativ format din toate diagramele Jacobi pe X prin următoarele relații:

(raport AS) + = 0 (relația IHX) = − (relația STU) = − (raportul FI) = 0.

Dacă orice componentă conexă a lui G are un vârf cu valoarea 3, atunci putem transforma diagrama Jacobi într-o diagramă de coarde aplicând recursiv relația STU. Dacă ne limităm la diagramele de coarde, atunci cele patru relații de mai sus se reduc la următoarele două relații:

(Relație cu patru termeni) − + − = 0. (raportul FI) = 0.

Notă: În diagramele Jacobi [12] sunt permise mai multe muchii și bucle de suspendare .

Proprietăți

Luând media aritmetică peste toate modalitățile de lipire a buclei Wilson la vârfuri univalente, orice diagramă Jacobi poate fi transformată într-o combinație liniară de diagrame Feynman [11] .

Este mai convenabil să lucrezi cu diagrame Jacobi decât cu diagrame Feynman, deoarece, pe lângă gradarea generală cu jumătate din numărul de vârfuri, există două gradări suplimentare: după numărul de componente conectate și după numărul de vârfuri univalente [13]. ] .

Gradul sau ordinea unei diagrame Jacobi este definită ca jumătate din suma numerelor vârfurilor sale. Acest număr este întotdeauna un număr întreg și este egal cu numărul de acorduri din diagrama de acorduri obținută din diagrama Jacobi [12] .
La fel ca țesăturile , diagramele Jacobi formează o categorie monoidală . Compoziția și produsul tensor al morfismelor sunt definite prin metoda „stivuire cu casete”:

Cu alte cuvinte, un produs tensor al morfismelor este o uniune disjunctă, iar o compoziție este o lipire a părților corespunzătoare ale limitei [14] .

- În cazul special în care X este un interval de I , A ( X ) va fi o algebră comutativă. Considerând A ( S 1 ) ca o algebră cu înmulțirea definită ca o sumă conexă , A ( S 1 ) este izomorfă cu A ( I ) .
Diagrama Jacobi poate fi privită ca o abstractizare a reprezentării unei algebre tensoriale generate de algebrele Lie, ceea ce ne permite să definim unele operații analoge cu coprodusele, conturile și antipozii algebrelor Hopf .
Deoarece invarianții Vassiliev (invarianții de tip finit) sunt strâns legați de diagramele de coarde, se poate construi un nod singular dintr-o diagramă de coarde G pe S 1 . K n denotă spațiul format din toate nodurile singulare de grad n , fiecare astfel de G definește un element unic în K m / K m +1 .

Sistemul de greutate

Maparea de la diagramele Jacobi la numere pozitive se numește sistem de ponderi . O mapare extinsă la A ( X ) se mai numește și sistem de greutate. Sistemele au următoarele proprietăți:

Fie g o algebră Lie semi simplă și ρ reprezentarea ei. Obținem un sistem de ponderi „substituind” tensorul invariant g în coarda diagramei Jacobi și ρ în varietatea de bază X a diagramei Jacobi.
- Putem considera vârfurile trivalente ale diagramelor Jacobi ca un produs paranteză al algebrei Lie, săgețile unei linii continue ca reprezentare a spațiului
ρ și vârfurile univalente ca acțiuni ale algebrei Lie.
Relația IHX și relația STU corespund, respectiv, identității Jacobi și definiției reprezentării

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v .

Sistemul de ponderi joacă un rol esențial în demonstrarea conjecturei Mervin-Morton [15] , care stabilește o legătură între polinoamele Alexander și polinoamele Jones .

Istorie

Diagramele Jacobi au fost introduse prin analogie cu diagramele Feynman când Kontsevich a definit invarianții nodurilor în termeni de integrale multiple în prima jumătate a anilor 1990 [16] . El a reprezentat puncte singulare ca acorduri, așa că a lucrat doar cu diagrame de acorduri. D. Bar-Nathan le-a formulat ulterior ca grafice cu una și trei valențe, le-a studiat proprietățile algebrice și le-a numit „diagrame de caractere chinezești” în articolul său [17] . Au fost folosiți diferiți termeni pentru a se referi la aceste diagrame, inclusiv „diagrame de coarde” și „diagrame Feynman”, dar din aproximativ 2000 au fost numiți diagrame Jacobi, deoarece relația IHX corespunde identității Jacobi pentru algebrele Lie .

Note

↑ Chmutov, Duji, 2012 .
↑ Kontsevici, 1993 , p. 137.
↑ 1 2 Dujin, 2010 , p. 101.
↑ Dujin, 2011 , p. 26.
↑ 1 2 Dujin, 2010 , p. 102.
↑ Dujin, 2010 , p. 104.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, Rozansky, Thurston, 2000 , p. 217-237.
↑ Bar-Natan, Le, Thurston, 2003 , p. 1-31.
↑ Dujin, 2010 , p. 105.
↑ Dujin, 2010 , p. 100.
↑ 1 2 3 Dujin, 2010 , p. 107.
↑ 1 2 Chmutov, Dujin, Mostovoy, 2012 , p. 127.
↑ Dujin, 2010 , p. 108.
↑ Română, 2013 , p. 1128–1149.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, 1996 , p. 103-133.
↑ Kontsevici, 1993 , p. 137-150.
↑ Bar-Natan, 1995 , p. 423-472.

Literatură

Serghei Vasilievici Dujin. ASPECTE COMBINATORIALE ALE TEORIEI INVARIANȚILOR VASIL'EV. - Sankt Petersburg, 2011. - (disertație).
D. A. Rumynin. Lie algebre în categorii monoidale simetrice // Sib. matematica. jurnal .. - 2013. - T. 54 , nr. 5 .
S. Chmutov, S. Dujin, J. Mostovoy. Introducere în invarianții nodului Vassiliev (alias CDBooK) . - Cambridge University Press, 2012. - ISBN 978-1-107-02083-2 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis. Despre conjectura Melvin-Morton-Rozansky // Inventiones Mathematicae. - 1996. - Emisiune. 125 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky, D. Thurston. Roți, roată și integrala Kontsevich a deznodării // Israel Journal of Mathematics .. - 2000. - T. 119 . - arXiv : q-alg/9703025 .
D. Bar-Natan, TQT Le,D. P Thurston. Două aplicații ale teoriei elementare a nodurilor la algebrele Lie și invarianților Vassiliev // Geometrie și topologie.. - 2003. - Vol . 7(1) .
S.V. Dujin. Invarianții Vasiliev–Gusarov // Matematica secolului al XX-lea. Vedere din Sankt Petersburg / A.M. Vershik. - Moscova: MTSNMO, 2010. - S. 87 -116. — ISBN 978-5-94057-586-3 .
Serghei Chmutov, Serghei Duji. Kontsevich Integral // Mathworld / Eric W. Weisstein. — Wolfram Web Resource, 2012.
D. Bar-Natan. Pe invarianții nodului Vassiliev // Topologie. - 1995. - T. 34 . - S. 423-472 .
Maxim Kontsevici. Invarianții nodului lui Vassiliev // Adv. Matematică sovietică. - 1993. - T. 16 , nr. 2 . - S. 137 .
Tomotada Ohtsuki. Invarianți cuantici – Un studiu al nodurilor, al 3-urilor și al secțiunilor lor . - 2001. - ISBN 9789810246754 .