Invariant Schwartz

Invariantul Schwartz , derivata Schwartz sau Schwarzianul (uneori se folosește notația ) al unei funcții analitice este un operator diferențial de formă $(Sf)(z)$ $\{f,\;z\}$ $f(z)$

(Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f' „(z)}{f”(z)}}\dreapta)^{2}.

Proprietăți

Invariantul Schwartz al unei funcții liniar-fracționale este egal cu zero. Acest fapt ușor de verificat este de o mare importanță fundamentală. Într-adevăr, dacă derivata a doua determină măsura proximității unei funcții diferențiabile față de una liniară, atunci invariantul Schwartz îndeplinește același rol pentru o funcție liniar-fracțională.
Dacă este o funcție analitică și este o mapare liniar-fracțională, atunci relația se va menține , adică maparea liniar-fracțională nu schimbă invariantul Schwartz. Pe de altă parte, derivata Schwartz f o g este calculată prin formula, $f$ $g$ $(Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)$

(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.

Astfel expresia[ clarifica ]

(S(f))(z)\dz^{\otimes 2)

invariant sub transformări liniar-fracționale.

Mai general, pentru funcții arbitrare, suficient de multe ori diferențiabile f și g

S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).

Introducem o funcție a două variabile complexe

F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{zw))\right)

. Luați în considerare expresia

{\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w))={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w) ) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}}

. Derivatul Schwartz este exprimat prin formula

(Sf)(z)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\partial w}\right\vert _{z=w}.

Derivata Schwartz are o formulă simplă pentru permutarea f și z

(Sf)(z)=-\left({\frac {df}{dz}}\right)^{2}(Sz)(f)

. Expresia are următorul sens: o considerăm ca o coordonată, dar ca o funcție. Apoi calculăm Schwarzianul . Presupunem că , prin urmare, prin teorema funcției inverse, este într-adevăr o coordonată locală, a (folosind această observație, ultima proprietate este demonstrată prin calcul direct).

(Sz)(f)

f

z(f)

z(f)

f'\neq 0

f

z'(f)=1/f'(z)

Ecuația pentru invariantul Schwartz

Se consideră o ecuație diferențială obișnuită în funcții analitice de forma . Apoi cele două soluții liniar independente și satisfac relația . ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0$ $f_1$ $f_{2}$ $\left(S{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)(z)=2Q(z)$