Funcție liniară fracțională

O funcție liniară-fracțională este o funcție numerică care poate fi reprezentată ca o fracție, al cărei numărător și numitor sunt funcții liniare .

Funcția liniar-fracțională, care mapează în general un spațiu numeric multidimensional la un spațiu numeric unidimensional, este un caz special important:

atât în spațiul real, cât și în cel complex - o funcție rațională , care, în cazul general, mapează un spațiu numeric unidimensional în sine folosind polinoame de o variabilă de grad arbitrar ; $n=1$
căci într-un spațiu complex, o transformare fracționară-liniară , care în cazul general mapează un spațiu complex multidimensional în sine; $n=1$
când în complex și când în spațiu real, inversând față de cercuri , - transformări Möbius . $n=1$ $n=2$

Definiție formală

O funcție fracțională liniară este o funcție numerică de formă

\mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots,u_{n})={\frac {a_{1 }u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},

unde sunt numere complexe ( ) sau reale ( ), sunt variabile complexe sau reale, respectiv coeficienți complecși sau reali, $\mathbb {U}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $u_1, u_2, \dots, u_n$ $a_{1},a_{2},\dots,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Generalizarea la cuaternioni este posibilă [2] .

Cazuri degenerate [1] :

dacă

|c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,

atunci funcția liniar-fracțională devine o funcție liniară întreagă ;

dacă rangul matricei

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ sfârşit{matrice}}\right)

este egal cu unu, atunci funcția liniar-fracțională degenerează într-o constantă .

Pentru o funcție liniar-fracțională proprie (nedegenerată) [1] :

$|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;$
egal cu două ranguri matrice

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ sfârşit{matrice}}\dreapta).

Funcție liniară fracțională reală

O funcție liniară fracțională reală este o funcție numerică de formă

\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})={\frac {a_{1 }x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},

unde sunt numere reale , sunt variabile reale, sunt coeficienți reali, $\mathbb {R}$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $a_{1},a_{2},\dots,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Funcția unei variabile

În cel mai simplu caz și real $n=1$

x_{1}=x,

a_{1}=a,

b,

c_{1}=c,

d

graficul unei funcții liniar-fracționale - hiperbolă isoscelă cu asimptote

x=-d/c

și

y=a/c,

paralel cu axele de coordonate: [1] .

Asimptotele unei hiperbole

Fie o funcție liniară-fracțională a unei variabile

y={\frac {ax+b}{cx+d)}

este ireductibil, adică , și nu poate fi redus la o întreagă funcție liniară, adică . Selectăm partea întreagă a fracției și scoatem coeficientul de la [3] : $ad-bc\neq 0$ $c\neq 0$ $X$

y={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac { {\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c ^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}=

={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c)))}}.

Acum este clar că graficul funcției este obținut din grafic prin următoarele transformări elementare: ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ ${\frac {1}{x))$

timpii de întindere de-a lungul axei , iar în cazul reflexiei în jurul axei ; $\left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|$ $Oi$ $ad-bc>0$ $Bou$
deplasarea paralelă cu axa cu ; $Bou$ $-{\frac {d}{c))$
deplasându-se paralel cu axa cu . $Oi$ ${\frac {a}{c}}$

Astfel, o funcție liniar-fracțională a unei variabile este o hiperbolă obișnuită de ordinul doi, liniile și sunt asimptotele hiperbolei, reciproc perpendiculare și paralele pe axele de coordonate, și punctul de intersecție al asimptotelor , care nu aparține. la curbă, este centrul acesteia [3] . ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ $x=-{\frac {d}{c))$ $y={\frac {a}{c}}$ $\left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)$

De asemenea, este evident că funcția liniar-fracțională a unei variabile [3] : ${\frac {ax+b}{cx+d}}$

„își pierde sensul”, adică nu are sens, încetează să „existe” la punctul ; $x=-{\frac {d}{c))$
pe intervale și funcția crește peste tot ca și scade peste tot ca ; $\left(-\infty,-{\frac {d}{c))\right)$ $\left(-{\frac {d}{c)),+\infty \right)$ $ad-bc>0$ $ad-bc<0$
cu o creștere nelimitată a valorii funcției, se apropie la nesfârșit de , ceea ce se vede și din transformare $|x|$ ${\frac {a}{c}}$

{\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.

Derivat

\left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))})))\dreapta) ' ={\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c)))^{2}}}.

Integrală nedefinită :

\int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})))\dreapta )dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right| +C.

Ecuația canonică a unei hiperbole

Mai întâi dăm funcția

y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c)))}}}

transformări de coordonate la formă

y'={\frac {m}{x'}}.

Pentru a face acest lucru, facem următoarele înlocuiri:

x'=x+{\frac {d}{c)),

y'=y-{\frac {a}{c)),

m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}},

obţinem forma cerută a funcţiei [4] .

Acum să rotim axele de coordonate cu un unghi schimbând coordonatele $45^{\circ },$

x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt { 2}}},

y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ })={\frac {x''+y''}{\sqrt { 2}}},

ajungem în coordonate noi [4] :

x'y'=m,

{\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,

{\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.

Ultima ecuație este ecuația canonică a unei hiperbole echilaterale cu semiaxele [4] $a=b={\sqrt {2|m|}}.$

Funcția a două variabile

În cazul lui și real, graficul unei funcții liniar-fracționale $n=2$ $x_{1},$ $x_{2},$ $a_{1},$ $a_{2},$ $b,$ $c_{1},$ $c_{2},$ $d$

y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d} }

este un paraboloid hiperbolic [1] .

Funcție liniară-fracțională complexă

O funcție liniară-fracțională complexă este o funcție numerică de formă

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},

unde sunt numere complexe , sunt variabile complexe, sunt coeficienți complexi, $\mathbb {C}$ $z_{1},z_{2},\dots,z_{n)$ $a_{1},a_{2},\dots,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Pentru funcția fracțională liniară complexă $n=1$

\mathbb {C} \la \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d)}

—

funcția analitică a unei variabile complexe peste tot în planul complex extins , cu excepția punctului în care funcția complexă liniar-fracțională are un pol simplu [1] . ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $z=-d/c$

Pentru funcția fracțională liniară complexă $n\geqslant 1$

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},

—

o funcție meromorfă în spațiul variabilelor complexe care are o mulțime polară ${\mathbb C}^{n}$ $z_{1},z_{2},\dots,z_{n)$

\{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d= 0\}

[1] .

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Enciclopedia de matematică , vol. 2, 1979 , st. 384.
↑ Alan F. Beardon. Geometria grupurilor discrete, 1983 , p. 56.
↑ 1 2 3 Enciclopedia de matematică elementară . Cartea a treia, 1952 , p. 56-57.
↑ 1 2 3 Efimov N. V. Curs scurt de geometrie analitică, 2005 , 119, p. 120.

Literatură

Efimov N. V. Un scurt curs de geometrie analitică: Uchebn. indemnizatie. Ed. a 13-a, stereo. M.: FIZMATLIT, 2005. 238 p., ill. ISBN 5-9221-0252-4 .
Enciclopedia matematică : cap. ed. I. M. Vinogradov , vol. 2 D-Koo. M .: „Enciclopedia Sovietică”, 1979. 1104 stb., Ill.
Enciclopedia de matematică elementară . Cartea a treia. Funcții și limite (Fundamentele analizei) / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevici și A. Ya. Khinchin . M., L.: Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1952. 559 p., ill.
Alan F. Beardon. Geometria grupurilor discrete. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.