Integrarea funcției secante trigonometrice a făcut obiectul uneia dintre „problemele nerezolvate de la mijlocul secolului al XVII-lea”, care a fost rezolvată în 1668 de James Gregory [1] . În 1599, Edward Wright a estimat integrala folosind metode numerice - ceea ce astăzi numim sume Riemann [2] . El a găsit o soluție în scopurile cartografiei - și anume, pentru a construi proiecții precise Mercator [1] . În anii 1640, Henry Bond, profesor de navigație, topografie și alte discipline matematice, a comparat tabelele numerice ale lui Wright de integrale secante cu tabelele de logaritmi ale tangentei și a concluzionat ipotetic [1] că
Această ipoteză a devenit cunoscută pe scară largă. Isaac Newton o menționează în scrisorile sale din 1665 [3] [4] .
Deși Grigory a dovedit conjectura lui Bond în 1668 în Exercitationes Geometricae , Isaac Barrow în 1670 în Geometrical Lectures a rezolvat problema printr-o metodă mai elegantă. Soluția sa a fost cea mai timpurie utilizare a expansiunii fracțiilor în integrare [1] . În conformitate cu notația modernă, soluția lui Barrow începe astfel:
Acest lucru simplifică problema găsirii funcțiilor raționale antiderivate prin utilizarea expansiunii fracțiilor. Soluția ulterioară a problemei este următoarea:
Și în final, după efectuarea substituției inverse , revenim la funcția variabilei x . În cele din urmă, integrala poate fi scrisă în următoarele forme echivalente:
Aici, Lambertianul este notat ca o funcție inversă funcției Gudermann . Proiecția Mercator a unei sfere pe un plan este descrisă tocmai de această funcție, care dă dependența coordonatei verticale y a punctului de proiecție de latitudinea geografică x a punctului prototip: y = lam x .
Integrala poate fi luată și folosind substituția trigonometrică universală , dar în acest caz soluția va părea ceva mai complicată decât cea dată mai sus.