Interpolare cu mai multe noduri

Interpolarea cu noduri multiple este problema construirii unui polinom de grad minim , care ia în anumite puncte ( noduri de interpolare ) valori date, precum și valori date ale derivatelor până la o anumită ordine .

Se arată că există un polinom unic de grad care satisface condițiile: $\P_n(x)$ $\n$

P_{n}^{(k)}(x_{i})=f_{i,k},i=1,\cdots,m;k=0,\cdots,n_{i}-1

, unde .

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{m}=n+1

Acest polinom se numește polinomul cu noduri multiple sau polinomul Hermite . În general:

P_{n}(x)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=0}^{n_{i}-1}l_{i,k}(x)f_ {i, k}

, este numărul de noduri și este multiplicitatea nodului .

\m

\n_{i)

\x_{i}

Charles Hermite a arătat asta

l_{i,k}(x)=\left[{\frac {1}{k!}}{\frac {\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j} )^{n_{j}}}{(x-x_{i})^{n_{i}}}}\right]\sum _{s=0}^{n_{i}-k-1}c_ {s}^{i}(x-x_{i})^{k+s}

, unde sunt coeficienții seriei Taylor pentru funcția .

\c_{s}^{i)

{\frac {(x-x_{i})^{n_{i)}}{\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{n_{j} }}}=\sum _{s=0}^{\infty }c_{s}^{i}(x-x_{i})^{s}

Dovada

Cazuri speciale

Dacă toate sunt egale cu unul, atunci polinomul de interpolare Hermite este același cu polinomul de interpolare Lagrange . $\n_{i)$
Dacă numărul de noduri de interpolare este unul, atunci polinomul de interpolare Hermite este același cu polinomul Taylor .
Dacă numărul de noduri de interpolare este două și fiecare are valoarea funcției și valoarea derivatei sale, avem problema construirii unei spline cubice .

Interpolare cu mai multe noduri

Dovada

Cazuri speciale

Estimarea restului interpolării

Vezi și

Literatură