Gradul unui polinom

În mulțimea numerelor complexe, gradul unui polinom într- o variabilă este numărul tuturor rădăcinilor sale , ținând cont de multiplicitatea acestora . Din teorema principală a algebrei și din corolarul teoremei lui Bezout rezultă că orice polinom p ( x ) de grad n poate fi reprezentat ca a ( x − x 1 )…( x − x n ), unde x 1 , …, x n sunt toate rădăcinile complexe ale polinomului, ținând cont de multiplicitate, iar constanta a ≠ 0 este coeficientul de conducere al polinomului. Deschizând parantezele în expresia a ( x − x 1 )…( x − x n ), se poate obține o definiție echivalentă: gradul unui polinom într-o variabilă este maximul gradelor tuturor termenilor săi monomi care sunt nu identic egal cu zero.

Această definiție are o generalizare: gradul complet al unui polinom cu mai multe variabile este maximul gradelor tuturor monomiilor sale, care nu sunt identic egale cu zero, față de toate variabilele care participă simultan la ele .

O ecuație polinomială a d variabile, care, folosind transformări echivalente, poate fi redusă la forma p ( x 1 ,…, x d ) = 0, unde polinomul p ( x 1 , …, x d ) are grad n , este numită ecuație (polinomială) de grad n .

Gradul unui polinom se notează deg ( grad englezesc , francez degré , din latină gradus + de -). [unu]

Nume de anumite grade

Gradul unui polinom care este identic egal cu zero nu este definit, dar în unele cazuri este luat egal cu −1 sau −∞ ( mai jos ). [2]
Gradul unei constante diferite de zero este 0.
Gradul unui polinom liniar este 1. O ecuație în care o funcție liniară este egală cu zero este o ecuație de gradul I.
Gradul unui polinom pătratic este 2. Ecuația corespunzătoare este o ecuație de gradul 2 .
Gradul polinomului cubic este 3. Ecuația gradului 3 îi corespunde .

Într -un spațiu euclidian d - dimensional ( d − 1) suprafață dimensională , care este o soluție a ecuației p ( x 1 ,…, x d ) = 0 de grad n cu coordonate carteziene x 1 , …, x d , este numită ( d − 1)- suprafață dimensională de ordinul al n -lea . Termenul ordin înseamnă de fapt gradul unei ecuații . Nume separate pentru suprafețe:

o cvadrică este o hipersuprafață de ordinul doi. În cazul unidimensional, o cvadrică este o conică - o curbă plană , una dintre modalitățile echivalente de a obține care este intersectarea unui con circular drept cu un plan;
cubicul este o hipersuprafață de ordinul trei. Exemple de cuburi plate: cubul Tschirnhaus , parabolă semicubică ;
o cuartică este o suprafață de ordinul 4: de exemplu, cuartica Luroth .

Exemple

Polinomul x ( x − 2) are al doilea grad, deoarece este format din doi factori liniari.
Pentru polinomul (2 x − 1)(3 x − 2), coeficienții 2 și 3 pot fi scoși din paranteze: 2 × 3( x −unu2)( x −23), deci are gradul 2.
Polinomul 16 x 5 + (−20) x 3 + 5 x + (−1) are monomul cu gradul cel mai mare este 16 x 5 , ceea ce înseamnă că gradul polinomului este 5.
Polinoamele se pot scrie sub formă necanonică: de exemplu, polinomul ( x 2 + 1) 2 − (− x 2 + 1) 2 are gradul 2, deoarece este un monom 2 x 2 .
Polinomul 2(2 x − y ) xy este de gradul trei.
Polinomul x 2 + y are un al doilea grad, deoarece monomul cu gradul cel mai mare este egal cu x 2 , iar acest polinom nu mai poate fi factorizat în factori liniari din x și y .
Gradul polinomului xy + y + x este 2.

Gradul unui polinom sub operații asupra lor

Înmulțirea

Înmulțirea unui polinom diferit de zero p ( x ) cu o constantă diferită de zero c nu schimbă gradul:

\deg {\big (}cp(x){\big )}=\deg p(x).

De exemplu, gradul polinomului 6( x −unu2)( x −23) = 6 x 2 − 5 x + 2, precum și ( x −unu2)( x −23) = x 2 +−56x +unu3, este egal cu 2. Într-un caz mai general, gradul produsului polinoamelor p ( x ) și q ( x ) este egal cu suma gradelor acestor polinoame: [3] [4]

\deg {\big (}p(x)q(x){\big )}=\deg p(x)+\deg q(x).

De exemplu, gradul polinomului ( x 2 + 1) ( x 3 - x - 1) = x 5 - x 2 - x - 1 este 2 + 3 = 5.

Adunare, scădere

Gradul sumei polinoamelor diferite de zero nu poate fi mai mare decât maximul gradelor lor: [5] [6]

\deg {\big (}p(x)+q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){ \mare )}.

Aceeași inegalitate este valabilă pentru diferența:

\deg {\big (}p(x)-q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg(-1\cdot q(x)){\big )}=\max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.

Mai mult, dacă gradele termenilor polinomii diferă, atunci relațiile de mai sus se transformă în egalități. De exemplu, polinomul ( x 2 + 1) 2 are al patrulea grad, ( x + 1) 2 - al doilea, iar polinoamele ( x 2 + 1) 2 ± ( x + 1) 2 - al patrulea.

Compoziție

Fie p ( x ) și q ( x ) polinoame nenule. Apoi: [7]

\deg[q\circ p(x)]=\deg[p\circ q(x)]=\deg p(x)\deg q(x).

De exemplu, dacă p ( x ) = x 2 + 1, q ( x ) = x 3 + 1, atunci gradele polinoamelor p ∘ q ( x ) = x 6 + 2 x 3 + 2 și q ∘ p ( x ) ) = x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 + 2 este 2 x 3 = 6.

Gradul unui polinom în mai multe variabile

Ca și în cazul unei singure variabile, gradul (total) al unui monom al mai multor variabile este suma tuturor exponenților tuturor variabilelor din monom. De exemplu, gradul complet al monomului x 1 y 2 x 3 în raport cu x și y este 1 + 2 + 3 = 6.

La rândul său, gradul (complet) al unui polinom în mai multe variabile este maximul gradelor tuturor monomiilor sale. Exemplu: polinomul xy + y + x are gradul 2 deoarece monomiul cu gradul cel mai mare este xy .

În plus, gradul unui polinom de mai multe variabile poate fi considerat și în raport cu una dintre variabile. De exemplu, polinomul x 2 + y 2 + xy + x + y are gradul 2 față de x și același grad față de y . Mai mult, în raport cu x , acest polinom este descompus în factori lineari complecși după cum urmează:

x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(x-{\tfrac {-y-1-{\sqrt {(y+1)(-3y+1) ))}{2}}\dreapta)\left(x-{\tfrac {-y-1+{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\dreapta),

si pentru y :

x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(y-{\tfrac {-x-1-{\sqrt {(x+1)(-3x+1) ))}{2}}\dreapta)\stanga(y-{\tfrac {-x-1+{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\dreapta).

Uneori, gradul unui polinom în raport cu o anumită variabilă poate fi influențat de alte variabile: de exemplu, un polinom ( x 2 + 1) y 2 + ( x + 1) y + 1 de gradul al patrulea este pătrat în raport cu y numai dacă x nu este egal cu ±i, în caz contrar, monomiul ( x 2 + 1) y 2 va dispărea și polinomul va deveni liniar: nu poate fi descompus în doi factori liniari (față de y ).

Gradul unui polinom zero

Gradul unui polinom egal cu 0 pentru orice valoare a variabilei (variabilelor) este considerat fie nedefinit [8], fie negativ - de obicei −1 [9] sau −∞. [2] [10]

În cazul în care gradul unui astfel de polinom nu este definit, se presupune că polinomul zero, strict vorbind, nu are deloc termeni monomiali, care nu ar fi identic egal cu zero. În consecință, pentru polinomul zero, nici una dintre proprietățile de mai sus ale grade nu sunt introduse deloc la transformarea polinoamelor.

În acest caz, când gradul polinomului zero este luat egal cu −∞, se păstrează toate proprietățile date mai sus, excluzând, poate, compoziția. Pentru orice număr real n , prin definiție, sunt valabile următoarele proprietăți ( proprietățile dreptei numerice extinse afin ):

$\max(-\infty ,n)=n;$
$-\infty +n=-\infty .$ [zece]

În consecință, gradele polinoamelor în sine „se comportă” după cum urmează: dacă p ( x ) este un polinom diferit de nul de grad n , atunci

$\deg(p(x)+0)=\deg p(x)=n\leqslant \max(\deg p(x),\deg 0)=\max(n,-\infty)=n ;$
$\deg(p(x)\cdot 0)=\deg 0=-\infty,$ iar pe de alta parte, $\deg p(x)+\deg 0=n-\infty =-\infty .$

Note

↑ Eric W. Weisstein. Gradul polinom . mathworld.wolfram.com . Preluat la 28 mai 2021. Arhivat din original la 3 iunie 2021.
↑ 1 2 Eric W. Weisstein. Polinom zero . mathworld.wolfram.com . Preluat la 28 mai 2021. Arhivat din original la 1 mai 2021.
↑ Serge Lang. Algebra . - 3. - New York: Springer-Verlag, 2002. - (Texte de absolvire în matematică). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ Serge Leng . Algebră. - Springer, 2005. - P. 100. - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ algebră abstractă - Gradul unei sume a două polinoame (întrebare demonstrativă) . Schimb de stivă de matematică . Preluat: 28 mai 2021. (nedefinit)
↑ Gradul sumei polinoamelor - TeoremaDep . sharmaeklavya2.github.io . Preluat la 28 mai 2021. Arhivat din original la 20 ianuarie 2021. (nedefinit)
↑ precalcul algebrei - Pentru ce este utilă compoziția polinomială? . Schimb de stivă de matematică . Preluat: 28 mai 2021. (nedefinit)
↑ Şafarevici, Igor Rostislavovici . Prelegeri despre algebră . — p. 25. Arhivat 2 iunie 2021 la Wayback Machine
↑ Childs, Lindsay. O introducere concretă în algebra superioară . - 1995. - P. 233. Copie de arhivă din 2 iunie 2021 la Wayback Machine
↑ 1 2 Childs, Lindsay. O introducere concretă în algebra superioară. . — 2009. Arhivat 2 iunie 2021 la Wayback Machine