Dezastru cu cerul albastru

Catastrofa cerului albastru  este un tip special de bifurcare a codimensiunii 1 în teoria sistemelor dinamice , în care lungimea unei traiectorii periodice hiperbolice crește la nesfârșit pe măsură ce valoarea parametrului tinde spre cea critică și astfel familia unor astfel de traiectorii nu continuă până la valoarea limită a parametrului. Denumirea bifurcației provine dintr-o descriere verbală a comportamentului traiectoriei în timpul bifurcării - pe măsură ce se prelungește, în cele din urmă „se dizolvă în cerul albastru” [1] .

Istorie

Un exemplu de sistem dinamic dependent de parametru în care, pe măsură ce parametrul tinde spre o valoare critică, lungimea unei traiectorii periodice tinde spre infinit a fost descris în 1967 de Fuller [2] . Totuși, un astfel de exemplu a fost descris într-un context diferit, trecând dincolo de atenția specialiștilor [3] , iar în 1974 Palis și Pugh au pus întrebarea [4] despre existența și tipicitatea unor astfel de bifurcații.

Într-o lucrare din 1980 , V. S. Medvedev analizează [5] un exemplu de sistem dinamic specific în care are loc o bifurcare a cerului albastru, observând că atât înainte, cât și după bifurcare, sistemul se dovedește a fi dur (adică, stabil structural ). În cele din urmă, în 1995 , D. Turaev și L. Shilnikov au prezentat [6] un exemplu de familie tipică cu un parametru de câmpuri vectoriale în dimensiunea 3, în care apare o astfel de bifurcare. Un astfel de exemplu arată că această bifurcare are codimensiunea 1, cu alte cuvinte, că apare la traversarea unei hipersuprafețe în spațiul tuturor sistemelor dinamice.

Exemplu

Note

1. ↑ D. V. Anosov, „ Despre dezvoltarea teoriei sistemelor dinamice Arhivat 10 februarie 2015 la Wayback Machine ”
2. ↑ Fuller, F., An index of fixed point type for periodic orbits. amer. J Math. 89 (1967) 133-148.
3. ↑ V. S. Medvedev, „On the Blue Sky Catastrophe Bifurcation on Two-Dimensional Manifolds”, Mat. note, 51:1 (1992), 118-125. S. 118.
4. ↑ J. Palis, C. Pugh, în: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems - Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468 , 1975.
5. ↑ V. S. Medvedev, „Despre un nou tip de bifurcații pe varietăți”, Mat. Sb., 113(155):3(11) (1980), 487-492.
6. ↑ Catastrofa cerului albastru - Scholarpedia . Consultat la 23 iunie 2010. Arhivat din original pe 28 octombrie 2011. (nedefinit)

Link -uri

• Andrey Shilnikov, Dmitri Turaev (2007) Catastrofa cerului albastru . Scholarpedia, 2(8):1889.
• Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Bifurcații nonlocale . - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 .
• D. V. Turaev, L. P. Shilnikov, „Despre catastrofele cerului albastru”, Dokl. AN SSSR, 342:5 (1995), 596-599.
• DV Anosov, „ Despre dezvoltarea teoriei sistemelor dinamice ”.
• V. S. Medvedev, „ On the Blue Sky Catastrophe Bifurcation on Two-Dimensional Manifolds ”, Mat. note, 51:1 (1992), 118-125.
• V. S. Medvedev, „ Despre un nou tip de bifurcații pe varietăți ”, Mat. Sb., 113(155):3(11) (1980), 487-492.
• J. Palis, C. Pugh , în: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems - Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468, 1975.
• Fuller, F. Brock, Un indice de tip punct fix pentru orbite periodice. amer. J. Matematică . 89 (1967) 133-148.