Covarianta

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 aprilie 2022; verificările necesită 7 modificări .

Momentul de covarianță sau corelație al variabilelor aleatoare - în teoria probabilității și statistica matematică , o măsură a dependenței a două variabile aleatoare . $\mathrm {cov} (X,Y)$

În teoria probabilității și statistică, covarianța este o măsură a variabilității comune a două variabile aleatoare. Dacă valorile mari ale unei variabile corespund în mare parte valorilor mari ale altei variabile și același lucru este valabil și pentru valorile mai mici (adică variabilele tind să prezinte același comportament), covarianța este pozitivă. caz opus, când valorile mari ale unei variabile corespund în cea mai mare parte valorilor mai mici ale celeilalte (adică variabilele tind să prezinte un comportament opus), covarianța este negativă. Astfel, semnul covarianței arată tendința pentru o relație liniară între variabile. Valoarea covarianței nu este ușor de interpretat deoarece nu este normalizată și, prin urmare, depinde de valorile variabilelor. Cu toate acestea, versiunea normalizată a covarianței, coeficientul de corelație, prin valoarea sa arată puterea relației liniare.

Definiție

Fie două variabile aleatoare definite pe același spațiu de probabilitate . Apoi covarianța lor este definită după cum urmează: $X Y$

{\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}\left[(X-{\mathbb {M}}X)(Y-{\mathbb {M}}Y)\right]

unde este așteptarea matematică (în literatura în limba engleză, desemnarea este acceptată ). ${\mathbb {M}}$ ${\mathbb {E}}$

Se presupune că toate așteptările matematice din partea dreaptă a acestei expresii sunt definite. ${\mathbb {M}}$

Remarci

Dacă , adică au un al doilea moment finit , atunci covarianța este definită și finită. $X,Y\în L^{2}$
Într -un spațiu Hilbert de variabile aleatoare imparțiale cu un al doilea moment finit , covarianța are forma și joacă rolul unui produs interior . $L_{0}^{2}\equiv \{X\in L^{2}\mid {\mathbb {M}}X=0\}$ ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}[XY]$

Coeficientul de covarianță al eșantionului

Fie un eșantion de volum , fie un eșantion de volum și ele sunt generate de variabile aleatoare definite pe același spațiu de probabilitate . Atunci coeficientul de covarianță al eșantionului este valoarea medie a produselor abaterilor valorilor de la valorile medii ale probelor corespunzătoare [1] : $X_{1},X_{2},...,X_{n)$ $X$ $n$ $Y_{1},Y_{2},...,Y_{n)$ $Y$ $n$

${\overline {s}}_{XY}=\mathrm {cov} (X,Y)={1 \over n}\sum _{t=1}^{n}\left(X_{t }-{\overline {X}}\right)\left(Y_{t}-{\overline {Y}}\right)$ ,

unde mijloacele eșantionului (numite și mijloace eșantionului) sunt determinate de formulele:

{\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}

{\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Y_{t}

Dacă deschideți parantezele și utilizați formula pentru media eșantionului, atunci:

$\mathrm {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}Y_{t}-\left({\ frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{ n}Y_{t}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}Y_{t}-{\overline {X}}{\ supraliniază {Y}}$ .

Proprietăți

Dacă sunt variabile aleatoare independente , atunci $X Y$ ${\mathrm {cov}}(X,Y)=0$ .
Dar afirmația inversă nu este, în general, adevărată: independența nu rezultă din absența covarianței. Exemplu: Fie ca o variabilă aleatorie să ia valori , fiecare cu o probabilitate . Apoi va lua valorile −1, 0 și 1, fiecare cu probabilitate și . Apoi dar $Z$ $0,{\frac {\pi }{2)),\pi$ ${\frac 13}$ $\cos{Z}$ ${\frac 13}$ $P(\sin {Z}=1)={\frac 13},P(\sin {Z}=0)={\frac 23},P(\sin {Z}=-1)=0$ ${\mathrm {cov}}(\sin {Z},\cos {Z})=0$ $0=P(\sin {Z}=1,\cos {Z}=1)\neq P(\cos {Z}=1)P(\sin {Z}=1)={\frac 19}$
Covarianța unei variabile aleatoare cu ea însăși este egală cu varianța : . ${\mathrm {cov}}(X,X)={\mathrm {D}}[X]$
Covarianța este simetrică: ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathrm {cov}}(Y,X)$ .
Datorită liniarității așteptării matematice, covarianța poate fi scrisă ca ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}\left[XY-X{\mathbb {M}}YY{\mathbb {M}}X+{\mathbb {M}}X {\mathbb {M}}Y\right]=$
$\;=\mathbb {M} \left[XY\right]-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y+\mathbb {M} X \mathbb {M} Y=$
$\;=\mathbb {M} \left[XY\right]-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y$ .
Fie variabile aleatoare și cele două combinații liniare arbitrare ale acestora . Apoi $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $Y_{1}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i},\;Y_{2}=\sum \limits _{{j=1}}^ {m}b_{j}X_{j}$ ${\mathrm {cov}}(Y_{1},Y_{2})=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sum \limits _{{j=1}}^{m }a_{i}b_{j}{\mathrm {cov}}(X_{i},X_{j})$ .

În special, covarianța (spre deosebire de coeficientul de corelație ) nu este invariantă la redimensionare, ceea ce nu este întotdeauna convenabil în aplicații.

Dacă și sunt numere, atunci $\alfa$ $\beta$ ${\mathrm {cov}}(X+\alpha ,Y+\beta )={\mathrm {cov}}(X,Y)$ .
Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky : dacă luăm covarianța ca produs scalar a două variabile aleatoare , atunci pătratul normei variabilei aleatoare va fi egal cu varianța , iar inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky va fi scrisă ca: $\langle X,Y\rangle =\mathrm {cov} (X,Y)$ $\|X\|^{2}={\mathrm {D}}[X]$ ${\mathrm {cov}}^{2}(X,Y)\leqslant {\mathrm {D}}[X]\cdot {\mathrm {D}}[Y]$ .

Coeficient de corelație

După valoarea absolută a covarianței , nu se poate aprecia cât de puternic sunt interconectate valorile , deoarece scara covarianței depinde de variațiile lor . Valoarea covarianței poate fi normalizată prin împărțirea acesteia la produsul abaterilor standard (rădăcini pătrate ale varianțelor) ale variabilelor aleatoare. Valoarea rezultată se numește coeficientul de corelație Pearson , care este întotdeauna în intervalul de la -1 la 1: $\mathbf {r} (X,Y)$

\mathbf {r} (X,Y)={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y))}

, unde este abaterea standard.

\sigma

Respectiv,

\mathrm {cov} (X,Y)=\mathbf {r} (X,Y)\cdot \sigma _{X}\sigma _{Y)

[2] .

Variabilele aleatoare care au covarianță zero se numesc necorelate . Variabilele aleatoare independente sunt întotdeauna necorelate. Afirmația inversă nu este întotdeauna adevărată. Este valabil pentru variabile aleatoare distribuite normal.

Vezi și

Matricea de covarianță este o generalizare a conceptului de covarianță pentru vectorii variabilelor aleatoare
Corelație
Varianta unei variabile aleatoare

Note

↑ Melnikov R.M. Econometrie. Tutorial
↑ Coeficientul de corelație . Consultat la 8 decembrie 2011. Arhivat din original pe 17 decembrie 2011. (nedefinit)

Link -uri

Weisstein, Eric W. Covariance (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .